Steckbriefaufgabe mit Nullstelle?

Question

bisher habe ich noch nie mit einer Steckbriefaufgabe gerechnet, wo ich eine NSt bestimmen musste.

Gesucht ist die ganzrationale Funktion zweiten Gerades, deren Graph bei -1 eine NST aufweist und der in M 1/2 / 2 1/4 ein Maximum hat.

Ich habe die erste und zweite Ableitung der Funktion zweiten Gerades gemacht und da die erste Aleitung die Steigung angibt, habe ich geschrieben das f (x) = 0 sein muss. also, f (1/2) = 2a * 1/2 + b = 0

Diese Gleichung habe ich auch römisch zwei gesetzt, damit ich nachher eine lineares Gleichungssystem habe.  Aber mir fehlt römisch 1, denn ich wiess nicht, wie ich das mit dem NST machen soll

LG

Answer 1

Gesucht ist die ganzrationale Funktion zweiten Gerades, 

f(x) = ax^2 + bx + c

deren Graph bei -1 eine NST aufweist 

f(-1) = 0

und der in M 1/2 / 2 1/4 ein Maximum hat.

f(1/2) = 9/4

f'(1/2) = 0

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

f(x) = -x² + x + 2

~plot~ -x^2+x+2 ~plot~

Answer 2

Gesucht ist die ganzrationale Funktion zweiten Gerades, deren Graph bei \(x_1=-1\) eine NST aufweist und der in M \( (\frac{1}{2}|\frac{9}{4}) \)ein Maximum hat.

Bei einer Parabel 2. Grades ist die Scheitelstelle \(x=\frac{1}{2}\) immer die Mitte zwischen den Nullstellen: \(x_1=-1\) und hier \(x_2=2\):

Weiter mit der Nullstellenform der Parabel:

\(f(x)=a(x+1)(x-2)\)

M \( (\frac{1}{2}|\frac{9}{4}) \):

\(f(\frac{1}{2})=a(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{2}-2)=\frac{9}{4}\)

\(a=-1\)

\(f(x)=-(x+1)(x-2)\)

Comments

Bei einer Parabel 2. Grades ist die Scheitelstelle ... immer die Mitte zwischen den Nullstellen:

Im Bereich der reellen Zahlen ist das nicht immer so.

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Es sei \(f(x)=x^2-6x+14\)

\(x^2-6x+14=0|-14\)

\(x^2-6x=-14\)

\((x-3)^2=-14+9=-5=5i^2|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x-3=i\sqrt{5}\)

\(x_1=3+i\sqrt{5}\)

2.)

\(x-3=-i\sqrt{5}\)

\(x_2=3-i\sqrt{5}\)

Die Mitte zwischen diesen Lösungen ist

\(x=\frac{3+i\sqrt{5}+3-i\sqrt{5}}{2}=3 \)

Das ist nun die Scheitelpunktstelle der Parabel.

\(f(3)=9-18+14=5\)

S\((3|5)\)

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Respekt. Du hast meinen Einwand verstanden.

Damit hat nfazrac endlich Klarheit.