Explizit implizit Funktion

Question

hallo

f(x,y) = x- y²

y = wurzel(x), für f(x,y) = 0

das wäre jetzt aber die explizite Darstellung, oder? Mit dem Satz über impl. Funktionen kann man aber nur sagen, dass es eine explizte Darstellung gibt, und nicht wie die aussieht?

Wie erläutere ich das ganze?

Danke

Comments

Mit dem Satz über impl. Funktionen kann man aber nur sagen, dass es eine explizte Darstellung gibt, und nicht wie die aussieht?

Richtig. Einführungsbeispiele werden in der Regel jedoch so gewählt, dass man noch explizit nach y auflösen kann um es besser zu verdeutlichen, was an den kritischen Punkten passiert.

Wenn du schon nach y auflösen willst, dann heißt es 

y=± √x und da ist auch der Knackpunkt. Das wäre dann die explizite Darstellung ,die brauchst du aber eigentlich nicht.

Nimm dir stattdessen den erwähnten Satz zur Hilfe und überlege an welchen Stellen die Funktion eindeutig invertierbar ist. Tipp:

Dazu muss man irgendwas ableiten ;)

Answer 1

Du musst mal erst die Vor. prüfen. Das ist u.a. , dass f auf dem Kreuzprodukt zweier 

offener Mengen definiert sein muss. Das wäre hier ℝxℝ.

Und (x,y) ein Paar, dass die Gleichung f(x,y) = 0 erfüllt. Dazu muss x≥0 sein.

Die partielle Ableitung von f nach y ist  f_y (x,y) = -2y .

Und nun schauen, wann die part. Ableitung ungleich 0 ist; denn

nur dann existiert genau eine explizite Form für die Funktion.

Das ist für alle y≠0 der Fall, und in der Tat ist y² = x  eindeutig

auflösbar, wenn man weiss, ob y pos. oder negativ ist.