Vollständige Induktion - Sn: 1+3+5+...+(2n-1)=n^2. Bin ich richtig vorgegangen?

Question

Ich übe die vollst. Induktion. 

Bin ich richtig vorgegangen, und habe ich die Summe von "Sigma 1 bis n plus Sigma 1+n" richtig aufgespalten ?

Vollständige Induktion
\( s_{n}=1+3+5+\ldots+(2 n-1)=n^{2} \)

\( \cdot \) Induktionsanfang:  "Der Satz ist richtig für n=1"
$$ \begin{array}{r} {\sum \limits_{k=1}^{1}(2 n-1)=n^{2}} \\ 1=1 \end{array} $$
\( \cdot \) Induktionsvoraussetzung:  "Der Satz gelte für ein festes Element n ∈ ℕ
\( \sum \limits_{k=1}^{n}(2 n-1)=n^{2} \)

\( \cdot \) Induktionsschritt:  Satz gelte auch für n = 1

\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1}(2(n+1)-1)-(n+1)^{2} \\\left. Also folgendes: \sum \limits_{k=1}^{n+1}(2 n+1)-1=\sum \limits_{k=1}^{n}+(2 n+1)-1\right) \\ =n^{2}+2(n+1)-1 \\ =n^{2}+2 n+2-1 \\ =n^{2}+2 n+1 \\ =(n+1)^{2} \end{aligned} \)

 

Answer 1

Die Summe lautet $$\sum_{k=1}^n(2k-1)$$ Du hast n statt k in der Summe geschrieben. Im Induktionsschritt will man also zeigen dass $$\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)=(n+1)^2$$ Die Summe hast du richtig aufgespaltet: $$\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)=\sum_{k=1}^n(2k-1)+(2(n+1)-1)$$ Dein Vorgang ist auch richtig! 

Comments

Vielen Dank für deine Antwort ! :) 

Answer 2

Hi,

in der ersten Zeile im letzten Abschnitt, hast Du eine leere Summe stehen. Da musste ein (2k-1) noch reinquetschen. Ansonsten passt es :).

Nachtrag: Du hast n mit k im Argument der Summe verwechselt :).

Grüße

Comments

:)