ganzrationale Funktion 4.Grades
Sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Die Funktion hat eine Nullstelle bei \(x=\red {2}\). Die Tangente im Punkt P\((1|-6)\) ist parallel zur Geraden \(g(x)=-2x+7\)
Die Funktion hat eine Nullstelle bei \(x=2\).
Durch die Achsensymmetrie hat die Funktion auch eine Nullstelle bei \(x=-\blue{2}\).
Ich mache weiter mit der Nullstellenform der ganzrationalen Funktion 4.Grades und dem 3. Binom:
\(f(x)=a(x-\red {2})(x+\blue{2})(x-N)(x+N)\\=a(x^2-4)(x^2-N^2)\\=a(x^4-N^2x^2-4x^2+4N^2)\)
Ich darf \((x-N)(x+N)\) schreiben, weil auch hierfür die Achsensymmetrie gilt.
Der Punkt P\((\orange{1}|-6)\) liegt auf dem Graph von \(f\):
\(f(\orange{1})=a(1-N^2-4+4N^2)=a(3N^2-3)=\)
\(a(3N^2-3)=-6\)
\(a=\frac{-6}{3N^2-3}=\frac{2}{1-N^2}\)
\(f(x)=\frac{2}{1-N^2}(x^4-N^2x^2-4x^2+4N^2)\)
Die Steigung der Tangente in P\((1|...)\) ist \(m=-2\) Der y- Wert ist hier nicht nötig.
\(f\) muss abgeleitet werden:
\(f'(x)=\frac{2}{1-N^2}(4x^3-2N^2x-8x)\)
\(f'(1)=\frac{2}{1-N^2}(4-2N^2-8)=\frac{2}{1-N^2}(-2N^2-4)\)
\(\frac{2}{1-N^2}(-2N^2-4)=-2\)
\(N^2=-1\)
\(a=\frac{2}{1-N^2}=1\)
\(f(x)=x^4-3x^2-4\)
