Steckbriefaufgabe: ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, hat bei x=2 eine Nullstelle. Der Graph von f hat im Punkt P(1|-6) eine Tangente, die senkrecht zur Geraden y=1/2x+2 steht.

Answer 1

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

f(x) = x⁴ - 3·x² - 4

und frag dann lieber gezielter bei Problemen nach.

Answer 2

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, hat bei $x=2$ eine Nullstelle. Der Graph von f hat im Punkt P$(1|-6)$eine Tangente, die senkrecht zur Geraden $y=\frac{1}{2}x+2$ steht.

Somit ist auch eine Nullstelle bei $x=-2$

Die Nullstellen sind achsensymmetrisch:

$f(x)=a(x-2)(x+2)(x-N)(x+N)=a[(x^2-4)(x^2-N^2)]$

P$(1|-6)$:

$f(1)=a[(1-4)(1-N^2)]=a[(-3)(1-N^2)]=-6$  →  $a[1-N^2]=2$

→  $a=\frac{2}{1-N^2}$

$f(x)=\frac{2}{1-N^2}[(x^2-4)(x^2-N^2)]$

Die senkrechte Tangente hat die Steigung  $m=-2$  an der Stelle $x=1$:

$f'(x)=\frac{2}{1-N^2}[2x(x^2-N^2)+(x^2-4)2x]$

$f'(1)=\frac{2}{1-N^2}[2(1-N^2)+(1-4)2]=\frac{2}{1-N^2}[2-2N^2-6]\\=\frac{2}{N^2-1}[4+2N^2]=-2$

$N^2=-1$     $a=1$

$f(x)=(x^2-4)(x^2+1)$