Eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, hat bei \(x=2\) eine Nullstelle. Der Graph von f hat im Punkt P\((1|-6) \)eine Tangente, die senkrecht zur Geraden \(y=\frac{1}{2}x+2\) steht.
Somit ist auch eine Nullstelle bei \(x=-2\)
Die Nullstellen sind achsensymmetrisch:
\(f(x)=a(x-2)(x+2)(x-N)(x+N)=a[(x^2-4)(x^2-N^2)]\)
P\((1|-6) \):
\(f(1)=a[(1-4)(1-N^2)]=a[(-3)(1-N^2)]=-6\) → \(a[1-N^2]=2\)
→ \(a=\frac{2}{1-N^2}\)
\(f(x)=\frac{2}{1-N^2}[(x^2-4)(x^2-N^2)]\)
Die senkrechte Tangente hat die Steigung \(m=-2\) an der Stelle \(x=1\):
\(f'(x)=\frac{2}{1-N^2}[2x(x^2-N^2)+(x^2-4)2x]\)
\(f'(1)=\frac{2}{1-N^2}[2(1-N^2)+(1-4)2]=\frac{2}{1-N^2}[2-2N^2-6]\\=\frac{2}{N^2-1}[4+2N^2]=-2\)
\(N^2=-1\) \(a=1\)
\(f(x)=(x^2-4)(x^2+1)\)
