Bestimme die Funktion per Steckbrief. achsensymmetrisch zur y-Achse

Question

2.ganzrationale Funktion 4.Grades

Sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Die Funktion hat eine Nullstelle bei x=2. Die Tangente im Punkt P(1/-6) ist parallel zur Geraden g(x)=-2x+7

Es soll eine Funktion bestimmt werden.

Answer 1

f(x) = a·x^4 + b·x^2 + c
f'(x) = 4·a·x^3 + 2·b·x

Bedingungsgleichungen

f(2) = 0 --> 16·a + 4·b + c = 0

f(1) = -6 --> a + b + c = -6

f'(1) = -2 --> 4·a + 2·b = -2

Das Gleichungssystem hat die Lösung: a = 1 ∧ b = -3 ∧ c = -4. Die Funktion lautet daher

f(x) = x^4 - 3·x^2 - 4

Skizze

~plot~ x^4-3x^2-4;-2(x-1)-6;{1|-6};{2|0};[[-3|3|-7|1]] ~plot~

Comments

f(0) = 2 → c = 2

?

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Ich habe den damaligen Fehler korrigiert.

Answer 2

Sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Die Funktion hat eine Nullstelle bei x=2. Die Tangente im Punkt P(1/-6) ist parallel zur Geraden g(x)=-2x+7

Achsensymmetrisch zur y-Achse )
f ( x ) = a*x^4 + b * x^2 + c 
f ´( x ) = 4 * x^3 + 2 * b * x

Kurznotation
f ( 2 ) = 0
f ( 1 ) = -6
f ´( 1 ) = -2

f ( 2 ) = a*2^4 + b * 2^2 + c  = 0
f ( 1 ) = a*1^4 + b * 1^2 + c = -6
f ´( 1 ) = 4 * 1^3 + 2 * b * 1 = -2

Lineares Gleichungssystem weiter
ausmultiplizieren und lösen.

Bei Bedarf wieder melden.

Answer 3

ganzrationale Funktion 4.Grades
Sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Die Funktion hat eine Nullstelle bei \(x=\red {2}\). Die Tangente im Punkt P\((1|-6)\) ist parallel zur Geraden \(g(x)=-2x+7\)

Die Funktion hat eine Nullstelle bei \(x=2\).

Durch die Achsensymmetrie hat die Funktion auch eine Nullstelle bei  \(x=-\blue{2}\).

Ich mache weiter mit der Nullstellenform der ganzrationalen Funktion 4.Grades und dem 3. Binom:

\(f(x)=a(x-\red {2})(x+\blue{2})(x-N)(x+N)\\=a(x^2-4)(x^2-N^2)\\=a(x^4-N^2x^2-4x^2+4N^2)\)

Ich darf \((x-N)(x+N)\) schreiben, weil auch hierfür die Achsensymmetrie gilt.

Der Punkt P\((\orange{1}|-6)\) liegt auf dem Graph von \(f\):

\(f(\orange{1})=a(1-N^2-4+4N^2)=a(3N^2-3)=\)

\(a(3N^2-3)=-6\)

\(a=\frac{-6}{3N^2-3}=\frac{2}{1-N^2}\)

\(f(x)=\frac{2}{1-N^2}(x^4-N^2x^2-4x^2+4N^2)\)

Die Steigung der Tangente in P\((1|...)\)  ist \(m=-2\) Der y- Wert ist hier nicht nötig.

\(f\) muss abgeleitet werden:

\(f'(x)=\frac{2}{1-N^2}(4x^3-2N^2x-8x)\)

\(f'(1)=\frac{2}{1-N^2}(4-2N^2-8)=\frac{2}{1-N^2}(-2N^2-4)\)

\(\frac{2}{1-N^2}(-2N^2-4)=-2\)

\(N^2=-1\)

\(a=\frac{2}{1-N^2}=1\)

\(f(x)=x^4-3x^2-4\)

Comments

N² = -1

so so, meinst Du nicht, dass Dein Ansatz oben

Binom:\(f(x)=a(x-\red {2})(x+\blue{2})(x-N)(x+N)\\\)

Und das ‚Ergebnis‘ ein kleines bisschen erklärungsbedürftig ist?

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Der vollständige Ansatz laut doch:

\(f(x)=a(x-\red {2})(x+\blue{2})(x-N)(x+N)\\=a(x^2-4)(x^2-N^2)\\=a(x^4-N^2x^2-4x^2+4N^2)\) und da ist es nicht notwendig, ein Problem mit einer Wurzel aus einer negativen Zahl zu bekommen.

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Das Problem mir Dir ist, das Du das Problem nicht verstehst.

Was soll der geneigte Leser mit N² = -1 anfangen?  Seit wann ist ein Quadrat negativ?

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Der Leser braucht doch nur das Ergebnis in a und in f einsetzen und nicht die Wurzel ziehen.

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Au Mann,

Nochmal: seit wann ist ein Quadrat negativ???

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Wie kommt man denn nun sicher an das Ziel ab der Stelle:

\(f'(1)=\frac{2}{1-N^2}(4-2N^2-8)=\frac{2}{1-N^2}(-2N^2-4)\)?

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Beantworte erst die Frage

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Nochmal: seit wann ist ein Quadrat negativ???

Ein Quadrat kann nicht negativ sein und nun zu meiner Frage.

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Es steht aber in Deiner Lösung!

N² = -1

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Ich glaube wir tanzen im Kreis herum. Vielleicht hätte ich ganz am Anfang für \(N^2\) z.B. \(A\) setzen müssen.

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Nein, Du verstehst nicht.

Dein kompletter Lösungsansatz steht auf tönernen Füßen.

Nicht nur ist nicht erklärt, warum diese Gleichung gelten soll:

\(f(x)=a(x-\red {2})(x+\blue{2})(x-N)(x+N)\\\)

Nein, sie ist auch noch i.A. falsch.

Und Umbenennung soll das Problem lösen? - ROFL

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Schau dir mal die Zeichnung an, dann kann mein Ansatz nicht tönern sein:

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OMG,

ein Duagramm soll es richten.

Schon deine erste Gleichung im ‚Beweis’ ist i.A. falsch, aber da gehst Du sicherheitshalber lieber nicht darauf ein.

Letzter Kommentar von mir, da es offensichtlich sinnlos ist, Dir etwas erklären zu wollen:

Du fängst mit einer Zerlegung in 4 Nullstellen an, auf dem GeoGebra Diagramm (dem ersten) sind aber nur zwei. Hmm, interessant.

Und so etwas soll allen Ernstes ‚Schülern helfen, die keine Lösungsformel verstehen‘?

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Es macht ja vielleicht Spass, immer jemanden zu bashen. Aber ein Polynom 4-ten Grades zerfällt in ein Produkt aus vier Linearfaktoren über \( \mathbb{C} \). Also kann man das gesuchte Polynom in der Form

$$ f(x)= a\prod_{k=1}^4 (x-x_k) $$

schreiben, mit möglicherweise Werten für \( x_k \in\mathbb{C} \). Wegen der Symmetrie zur y-Achse und der gegebenen Nullstelle \( x = 2 \) ergibt sich das Polynom also zu

$$ f(x) = a (x-2)(x+2)(x-x_3)(x+x_3) = (x^2-4) (x^2 - x_3^2) $$

Moliets hat den Wert für \( x_3 \) bestimmt und herausbekommen, das gelten muss \( x_3^2 = -1 \) also \( x_3 = i \).

In Summe ergibt sich also das gesuchte Polynom zu $$ f(x) = a (x^2 - 4) (x^2 + 1) $$

Er hat \( x_3 \) nur \( N \) genannt. Damit hat das gesuchte Polynom 2 reelle und zwei komplexe Nullstellen.

Aus der Vorgabe \( f(1) = -6 \) schließt er, das gelten muss

$$ f(1) = a \cdot (-3) \cdot 2 = -6 $$ und daraus \( a = 1 \).

Und damit für das gesuchte Polynom $$ f(x) = (x^2 -4) (x^2+1) = x^4 - 3x^2-4 $$

Dieses Polynom erfüllt alle gestellten Anforderungen und ist im Gegensatz zu der Lösung von Mathcoach auch richtig.

Was gibt es also daran auszusetzen?

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Hier wird keiner gebasht, sondern es wird versucht jemandem das Problem mit seiner "Lösung" zu erklären, was sich als mühsam herausstellt (vorsichtig formuliert).

Zu Deiner (ullims) Lösung: es geht nicht um Deine Lösung, sondern um Moliets'. Und es ist keine Lösung auf Schulniveau (wie die Aufgabe).

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Was gibt es also daran auszusetzen?

Wenn er es so geschrieben hätte wie Du, wäre der einzige Kommentar gewesen, ob man bei solchen Aufgaben eine Lösung wählt, die die Komplexen Zahlen benötigt.

Aber nichts von dem, was Du hier gemacht hast, ist ihm klar, wie auch seine Antworten überdeutlich zeigen.

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@Jumanji: ein wenig übertreibst du nun schon. Ein Polynom mit reellen Koeffizienten zerfällt vollständig in Linearfaktoren, auch wenn es komplexe Nullstellen gibt, wie in diesem Fall. Der Ansatz ist also völlig in Ordnung. Sicherlich hätte man darauf genauer eingehen können, aber das nun als grundsätzlich falsch zu bezeichnen, ist eben auch nicht korrekt.

Das erklärt dann auch, warum die Gleichung \( N^2=-1 \) in der Rechnung vorkommen kann, was aber auch nicht problematisch ist, da dies direkt so in der Gleichung für \( a \) eingesetzt werden kann. Sicherlich hätte man auch das noch genauer erläutern können.

Mit komplexen Zahlen muss hier übrigens gar nicht gerechnet werden.

Bedenklich ist allerdings tatsächlich, dass Moliets die Problematik meist nicht klar ist.

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Und wenn man konstruktiv an die Sache ran gehen würde, hätte man auch eine neutrale Kommentierung wählen können. Entweder fehlte der Wille etwas neutral zu kommentieren oder das Wissen.

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Korrekt müßte man sagen, das ein reelles  Polynom in Linearfaktoren zerfällt und mit jeder komplexen Nullstelle auch die konjugiert komplexe eine Lösung ist.

Nur mit der  Eigenschaft der Symmetrie zur y-Achse ist die konjugiert komplexe Nullstelle gleich der negativen Nullstelle. Diese Feinheit ist hier wichtig und natürlich unerwähnt. Nur daher funktioniert die erste Gleichung, wie auch ullim geschrieben hat.

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Die Achsensymmetrie wurde von Moliets aber sehr wohl in seiner Lösung erwähnt.

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Und welche Achse ist dann gemeint, wenn wir im Definitionsbereich \(\mathbb{C}\) argumentieren?

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Die Achsensymmetrie wurde von Moliets aber sehr wohl in seiner Lösung erwähnt.

Er machte nur, was er bei x=2 gemacht hat. Oder glaubst Du ernsthaft, er hat in komplexen Zahlen gedacht?

Lies nochmal seine Antworten auf meine Fragen…

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Ich weiß nicht in welchen Kategorien Moliets denkt. Ich möchte nur auf Srinivasa Ramanujan hinweisen, ein genialer indischer Mathematiker, den die europäischen Mathematiker zuerst auch nicht ernst genommen und auch nicht verstanden haben.

Ich will jetzt keine Parallelen ziehen zwischen den beiden. Was einer denkt wissen wir aber nicht und wir sollten das, was er aufschreibt neutral kommentieren. Falsch ist falsch, ganz klar, dass sollte auch markiert werden. Ist bei Mathecoach komischerweise nicht passiert, aber sehr wohl bei Moilets, obwohl das Ergebnis richtig ist, dass finde ich komisch.

Und abschließend, Kommentare sind ohne diskriminierende Formulierungen vorzunehmen. Denn sonst sind wir hier auf dem Niveau wie bei sovielen Newsgroups, Chatrooms, Foren und was es sonst noch so gibt.

Hier wird Mathematik gemacht und sonst nichts.

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Du willst keine Parallele ziehen? Warum erwähnst Du es dann?

Wenn solche und das gilt für viele anderen ‚Lösungen‘ von M. hier auch noch verteidigt werden, darf man sch nicht wundern, wenn es Threads wie die ‚Todesanzeige‘ gibt.

Das hat mit ernsthafter Mathematik nur noch wenig zu tun…