Ungleichungen mit Mitternachtsformel

Question

Mir ist nicht ganz klar, ob hier einfach die Mitternachtsformel verwenden darf.

x^2 - x + 1 ≤ 3
x^2 - x -2 ≤ 0
und jetzt einfach in die Mitternachtsformel einsetzen? Mir kommt das zu einfach vor.
LG

Answer 1

x² - x -2 ≤ 0
(x-2)(x+1)<=0

1. Fall
x-2<=0 und x+1>=0
x<=2 und x>=-1

L= [-1:2]

2.Fall
x>=2 und x<=-1 (Widerspruch)

--> L = [-1;2]

Answer 2

Hallo Gucki,

die Mitternachtsformel liefert Dir ja 'nur' die Lösung für die Gleichung, also die Grenzen \(x_1=2\) und \(x_2=-1\) für die Bereiche, aber nicht zwingend die Bereiche selbst, in denen \(x\) liegen muss, um die Ungleichung zu erfüllen. Du kannst Dir das natürlich selbst überlegen: Links steht eine nach oben offen Parabel - hat sie zwei Schnittpunkte mit der X-Achse so muss der Bereich für die Lösung zwischen den beiden Grenzen liegen - dh,.:

$$\mathbb{L}=x \in [-1; 2]$$

Sauberer wäre es hier vielleicht die quadratische Ergänzung zu bemühen:

$$x^2-x-2 = x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{9}{4}=(x-\frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4} \le 0$$

$$(x-\frac{1}{2})^2\le \frac{9}{4}$$

auf beiden Seiten stehen sicher positive Ausdrücke. Du kannst als die Wurzel ziehen und es spielt keine Rolle, welches Vorzeichen\((x-1/2)\) hat.

$$|x-\frac{1}{2} |\le \frac{3}{2}$$

Die Fallunterscheidung für \(x-1/2 \ge 0\) liefert \(x \le 2\) und die für \(x-1/2 \lt 0\) liefert \(x\ge-1\) und damit die Lösung von oben.

Gruß Werner

Answer 3

Ja. Einfach mal die Nullstellen über die Mitternachtsformel ausrechnen

x^2 - x - 2 = 0 --> x = -1 ∨ x = 2

Jetzt überlegen y = x^2 - x - 2 ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen bei x = -1 ∨ x = 2. Wo verlauft dann die Parabel unterhalb der x-Achse. Richtig. Zwischen den Nullstellen. Also.

x^2 - x - 2 ≤ 0 --> -1 ≤ x ≤ 2

Answer 4

Die Mitternachtsformel braucht nicht
angewendet werden da x^2 keinen Koeffizienten
hat.
Wenn dann nimmt man die pq-Formel
oder die quadratische Ergänzung

x² - x + 1 ≤ 3
x^2 - x +(1/2)^2  + 1 ≤ 3 + (1/2)^2
( x - 1/2 )^2  ≤ 9 / 4
mögliche Vorgehensweise
( Umformung zu einer Gleichung )
( x - 1/2 )^2  = 9 / 4   | √
x - 1/2 = ± √ ( 9 / 4 ) = ± 3 / 2
x = 2
und
x = - 1

Eine Stelle zwischen 2 und -1 festlegen
und die Punktprobe machen für
x = 0
0^2 - 0 + 1  ≤ 3
1 ≤ 3 richtig
Da es sich um eine Parabel handelt
ist der Zahlenbereich zwischen
- 1 und 2 die Lösung
- 1 ≤ x ≤ 2

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Für welche x ∈ ℝ gilt
x = 2
und
x = - 1 ?

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In diesem Fall ist es ein sprachliches und und kein mathematisches.

Die Nullstellen liegen bei -1 und 2.