Beweisen Sie mit einem direkten Beweis die Ungleichungen zu geometrischem und arithmetischem Mittel

Question

Seien a, b > 0. Beweisen Sie mit einem direkten Beweis die Ungleichungen:

Ungleichungen zu geometrischem und arithmetischem Mittel

Answer 1

2ab ≤ a² + b² ⇔ 0 ≤ a² - 2ab + b² ⇔ 0 ≤ (a-b)².⇔ a, b ∈ℝ. Die Einschränkung a, b > 0 braucht man hier nicht.

a/b + b/a = (a² + b²) / ab laut Bruchrechenregeln

(a² + b²) / ab ≥ 2 ⇔ (a² + b²)  ≥ 2ab, weil ab ≥ 0 wegen a, b > 0 laut Voraussetzung.

Answer 2

2ab ≤ a^2 + b^2
0 ≤ a^2 - 2ab + b^2 | 3.binomische Formel
( a - b )^2 ≥ 0
Ein Quadrat ist immer ≥ 0.
Der Beweis ist erbracht.

Comments

a / b + b / a ≥ 2
a^2 / ( ab ) + b^2 / ( ab )  ≥ 2
( a^2 + b^2 ) / ( ab ) ≥ 2 | * ab
a^2 + b^2 ≥ 2ab
a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0
( a - b )^2 ≥ 0
weil a,b > 0 ( in der Fragestellung )

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"0 ≤ a² - 2ab + b² | 3.binomische Formel "

Eigentlich nicht.

Answer 3

Beide Aussagen lassen sich auch zusammen beweisen, ich beginne mit der rechten Ungleichung:
$$ \begin{aligned}\dfrac ab + \dfrac ba &\ge 2 \quad | \cdot ab  \gt 0 \\\,\\a^2 + b^2 &\ge 2ab \quad| \text{ Drehen erzeugt linke Aussage!} \\\,\\2ab &\le a^2 + b^2 \quad| -2ab \\\,\\0 &\le a^2 -2ab + b^2 \quad| \text{ 2. bin. Formel}\\\,\\0 &\le \left(a - b\right)^2\quad\square\end{aligned} $$