Vollständige Induktion: Summenformel für Rechteckszahlen n*(n+1)*(n+2)/3

Question

Mit vollständiger Induktion soll bewiesen werden, dass die Summenformel für die Rechteckszahlen

2 + 6 + 12 + ... + n*(n+1) = n*(n+1)*(n+2)/3

für alle natürlichen Zahlen n (ohne 0) gilt.

(I. A.) Summe von 1 bis n mit i*(i+1) = n*(n+1)*(n+2)/3

Zu zeigen ist, dass die oben genannte Aussage für das erste Element n=1 gilt.

1*(1+1) = 1*(1+1)*(1+2)/3

2 = 2

Also gilt die Behauptung für n=1.

(I.V.) n --> n+1

Sei die Aussage für ein beliebiges, aber festes n (ohne 0) bereits gezeigt, dann gilt:

Summe von 1 bis n mit i*(i+1) = n*(n+1)*(n+2)/3

(I.B.) Zu zeigen ist: Wenn die (I.V.) für ein beliebiges, aber festes n gilt, dann muss sie auch für n+1 gelten. Also:

Summe von 1 bis n+1 mit i*(i+1) = (n+1)*(n+2)*(n+3)/3

(I.S.)

Es gilt:

Summe von 1 bis n+1 mit i*(i+1) = Summe von 1 bis n mit i*(i+1) + (n+1)

= n*(n+1)*(n+2)/3 + (n+1)              nach (I.V.)

An dieser Stelle komme ich nicht weiter. Ich habe es mit Ausmultiplizieren versucht, komme aber nie auf (n+1)*(n+2)*(n+3)/3.

Comments

$$\text{Tipp: }\sum_{i=1}^{n+1}i(i+1)=\sum_{i=1}^ni(i+1)+(n+1)\color{red}{(n+2)}\overset{\small\text{IV}}=\tfrac13n(n+1)(n+2)+(n+1)\color{red}{(n+2)}.$$

Answer 1

Der Tipp weist dich auf einen Fehler hin.

Die Summanden sind alle von der Form i*(i+1)

Der (n+1)-te Summand ist also (n+1)*(n+1+1)

eben (n+1)(n+2) .
Und wenn du damit rechnest

(1/3)n(n+1)(n+2) + (n+1)(n+2)  kannst du (n+1)(n+2) ausklammern :

(n+1)(n+2) * (  (1/3)n + 1 )

= (n+1)(n+2) *  (1/3) (n + 3 )  und das sollte ja rauskommen.