Question

Wie beweist man diese Formel mit Hilfe vollständiger Induktion?

für alle n ∈ ℕ.

Answer 1

Zu zeigen

Σ (k = 1 bis n) 1/((2·k - 1)·(2·k + 1)) = n/(2·n + 1)

Induktionsanfang n = 1

Σ (k = 1 bis 1) 1/((2·k - 1)·(2·k + 1)) = 1/(2·1 + 1)

1/((2·1 - 1)·(2·1 + 1)) = 1/(2·1 + 1)

1/(1·3) = 1/3

1/3 = 1/3 --> stimmt

Induktionsschritt n --> n + 1

Σ (k = 1 bis n + 1) 1/((2·k - 1)·(2·k + 1)) = (n + 1)/(2·(n + 1) + 1)

Σ (k = 1 bis n) 1/((2·k - 1)·(2·k + 1)) + 1/((2·(n + 1) - 1)·(2·(n + 1) + 1)) = (n + 1)/(2·(n + 1) + 1)

n/(2·n + 1) + 1/((2·(n + 1) - 1)·(2·(n + 1) + 1)) = (n + 1)/(2·(n + 1) + 1)

n/(2·n + 1) + 1/((2·n + 1)·(2·n + 3)) = (n + 1)/(2·n + 3)

n·(2·n + 3)/((2·n + 1)·(2·n + 3)) + 1/((2·n + 1)·(2·n + 3)) = (n + 1)·(2·n + 1)/((2·n + 1)·(2·n + 3))

n·(2·n + 3) + 1 = (n + 1)·(2·n + 1)

2·n^2 + 3·n + 1 = 2·n^2 + 3·n + 1 --> stimmt