Steigung berechnen an der Stelle x=1 der Funktion f(x) = -x² +4x

Question

Ich komme mit einer Teilaufgabe meiner Hausaufgaben einfach nicht weiter.


Gegeben ist die Funktion f(x)= -x² + 4x

Die Frage : Welche Steigung hat f an der Stelle x=1? An welcher Stelle hat f die Steigung 0 ? Wie lautet die Gleichung der Tangente in x=1 ?


Hat jemand Tipps, wie ich vorgehen kann ? :-)


Vielen Dank !

Answer 1

Hi,

f(x) = -x^2+4x

f'(x) = -2x+4

 

Die Ableitung gibt die Steigung in einem Punkt an:

f'(1) = -2*1+4 = 2

Die Steigung an der Stelle x=1 ist m=2.

 

Die Steigung 0 ist bei

f'(x) = 0 = -2x+4  |-4

-4 = -2x                |:(-2)

x=2

Bei x=2 zu finden.

 

Die Tangente an der Stelle x=1 ist beschrieben durch y=mx+b, wobei m=2 bereits bekannt ist.

Der Punkt der von der Tangente berührt wird ist f(1) = 3, also P(1|3).

Einsetzen:

3 = 2*1 + b  |-2

b=1

Die Tangente lautet y = 2x+1

 

Grüße

Answer 2

 

f(x) = -x² + 4x

Ist Dir bekannt, wie man die Steigung ganz einfach und schnell berechnen kann? Man multipliziert das x mit dem jeweiligen Exponenten und verringert ihn dann um 1, also 

f(x) = -x² + 4x¹

f'(x) = 2 * (-x^2-1) + 1 * 4 * x^1-1 = 2 * (-x¹) + 4 * x⁰ = 2 * (-x) + 4 * 1 = -2x + 4

Welche Steigung hat f an der Stelle x = 1? Einsetzen: 

f'(x) = -2 * 1 + 4 = 2

An welcher Stelle hat f die Steigung 0? 

-2x + 4 = 0

-2x = -4

x = 2

Wie lautet die Gleichung der Tangente in x = 1?

Tangenten an f an der Stelle x₀ allgemein:

y = f'(x₀) * (x - x₀) + f(x₀)

x₀ = 1

f'(1) = -2 + 4 = 2

(x - x₀) = (x - 1)

f(1) = -1 + 4 = 3

Alles zusammen: 

y = 2 * (x - 1) + 3

y = 2x + 1

Besten Gruß

Answer 3

Welche Steigung hat \(f(x)= -x^2 + 4x\) an der Stelle \(x=\red{1}\)?

\(f(\red{1})= -1 + 4=3\)

Der Berührpunkt ist B\((1|3)\)

Geradenbüschel durch B\((1|3)\):

\( \frac{y-3}{x-1}=m \)

\(y=mx-m+3 \)

Schnitt mit  \(f(x)= -x^2 + 4x\):

\(x^2+(m- 4)x=m-3 \) quadratische Ergänzung:

\(x^2+(m- 4)x+(\frac{m-4}{2})^2=m-3+(\frac{m-4}{2})^2= \frac{1}{4}(m-2)^2 \)  1.Binom:

\((x+\frac{m-4}{2})^2= \frac{1}{4}(m-2)^2   | ±\sqrt{~~} \)

\(x+\frac{m-4}{2}= ±\frac{1}{2}(m-2)  \)

Tangenteneigenschaft, wenn \(±\frac{1}{2}(m-2)=0\) ist:

\(m=2\)

Wie lautet die Gleichung der Tangente in \(x=1\) ?

 \(m=2\) eingesetzt in das Geradenbüschel:

\(y=2x-2+3=2x+1 \)

An welcher Stelle hat f die Steigung 0 ?

Im Scheitelpunkt ist die Steigung 0

Scheitelpunktform berechnen:

\(y= -x^2 + 4x\)

\(-y= x^2 - 4x\) quadratische Ergänzung:

\(-y+(\frac{4}{2})^2= x^2 - 4x+(\frac{4}{2})^2\)   2. Binom:

\(-y+4= (x - 2)^2\)

\(y-4= -(x - 2)^2\)

\(y= -(x - 2)^2+4\)

S \((2|4)\)