Beweis der Relation A = {(k, i) ∈ Z × Z | ki > 10}

Question

Ich sitze nun schon seit mehreren Stunden an dieser Aufgabe hier, ich soll diese Relation nach Symmetrie  und Reflexivität untersuchen.

Klar ist, dass sie nicht Reflexiv ist, da z.B (3,3) durch die Bedingung  ki > 10 kein Element der Relation A ist.Klar ist auch, dass die Relation A Symmetrisch ist, da sowohl (4,6) als auch (6,4) die Bedingung ki > 10 erfüllen und somit Elemente der Relation A sind.
Problem ist, wie schreibe ich das richtig als Beweis zusammen, denn so ist es ja falsch. Ich befinde mich gerade am Anfang meines Mathematikstudiums und mir liegt das schreiben/Beweisen noch nicht wirklich. Könnte mir hier Jemand mal ein Beispiel beweis, Skizzieren, damit ich mal eine Idee habe, wie das laufen muss?

Comments

Du: "Klar ist, dass sie nicht Reflexiv ist, da z.B (3,3) durch die Bedingung  ki > 10 kein Element der Relation A ist."

Daran ist nur klar, dass (3,3) ein unpassendes Beispiel ist!

Und was willst du überhaupt zeigen? "Beweis der Relation" ist doch sicher nicht!

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Du 0815: "Und was willst du überhaupt zeigen? 'Beweis der Relation' ist doch sicher nicht! "

Ich: Lies mal den vorletzten Satz: "Könnte mir hier Jemand mal ein Beispiel beweis, Skizzieren, damit ich mal eine Idee habe, wie das laufen muss?"

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Ja ich weiß, man kann auch sagen dass (6,6) ein Element der Relation ist und somit müsste sie reflexiv sein:)

Aber da z.B (3,10) die Bedingung ki > 10 erfüllt und dadurch Element der Relation ist.

So liegt a ja in der Menge  und laut der Definition der Reflexivität , müsste für alle a∈ Z , (a,a) gelten , aber es die Bedingung nicht erfüllt, somit ist (a,a) auch keine ∈ A, also verstößt es ja gegen die Definition um reflexiv zu sein.?

Und da meine Verwirrung so groß ist, suche ich ja nun auch nach Hilfe:)

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Ok, nehmen wir an, wir möchten die Reflexivität prüfen. Ein Beispiel würde genügen, um die Reflexivität zu widerlegen. Wegen \((3,3) \notin A\) ist \((3,3)\) aber kein taugliches Beispiel. Es wird sich auch schwer eins finden lassen.

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Das war ja nur ein Bespiel, damit ihr meinen Gedankengang nachvollziehen könnt. Was ich wissen möchte ist, wie ich dies so verallgemeinern kann, damit es ein tauglicher Beweis wird. Auf diese Aufgabe gibt es 1/2 Punkt von 25, also kann es ja bestimmt nicht so schwer sein, mit fehlt nur leider die Idee, da ich nicht wüsste wie ich sonst mit der Definition arbeiten soll, damit es alles Sinn macht

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So, ich sehe, was mein Problem ist: Wegen \((3,3) \notin A\) ist dies sehr wohl ein Beispiel gegen die Reflexivität. Ich nehme also zurück, was ich geschrieben habe und stelle fest, dass, wie du schriebst,

"Klar ist, dass sie nicht Reflexiv ist, da z.B (3,3) durch die Bedingung  ki > 10 kein Element der Relation A ist."

Mein Fehler!

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Halten wir fest, dass die Relation nicht reflexiv ist. Das von dir genannte Gegenbeispiel genügt als Begründung.

Bleibt noch die Symmetrie: "Klar ist auch, dass die Relation A symmetrisch ist, da sowohl (4,6) als auch (6,4) die Bedingung ki > 10 erfüllen und somit Elemente der Relation A sind" . Ein Beispiel als Begründung genügt hier nicht, denn die Symmetrie soll ja für alle \((k,i) \in A\) gezeigt werden.

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Kein Problem, nun aber zu meiner Frage bitte:)

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Man könnte so vorgehen:

Sei \((k,i) \in A\) beliebig. Dann gilt:

$$k \cdot i > 10 \Rightarrow i \cdot k > 10 \Rightarrow (i,k) \in A. $$Das ist eigentlich schon alles. Links und rechts wird jeweils die Definition von \(A\) benutzt, in der Mitte die Kommutativität der Multiplikation in \(\mathbb{Z}\).

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Ok, ach man, dass ist alles so kompliziert.

Wenn ich als Leihe das lese, dann würde ich nie auf die Idee kommen, dass das der Beweis ist, muss ich dazu denn nicht noch einen Text schreiben, war  (k,i) überhaupt gilt etc?
Nochmal generell zum Beweis: könnte man dies so aufbauen?

Z.B. Aufgabe 3. a) A = {(k, i) ∈ Z × Z | ki > 10}

 - Prüfung auf Symmetrie:

Zu zeigen ist dass (dann die Def von Symmetrie)

Beweis :

Sei (k,i)∈A(k,i)∈A beliebig. Dann gilt: k⋅i>10⇒i⋅k>10⇒(i,k)∈A. (Dann vielleicht noch 1-2 Sätze

- Prüfung auf Reflexivität:

Zu zeigen ist dass (dann die Def von Reflexivität)

Beweis: Das Gegenbeispiel mit 1-2 Sätzen?

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Viele Beweise sind tatsächlich eher kurz. Natürlich darf man jeden Beweis auch mit ein paar erläuternden Sätzen einleiten und mit einer zusammenfassenden Bemerkung schließen. Inwieweit das notwendig ist oder nicht hängt nicht zuletzt auch davon ab, für wen man den Beweis schreibt. Ich würde also vorschlagen, du machst es zunächst so, wie es dir einleuchtend erscheint, und wartest dann mal die Rückmeldungen der Tutoren oder die Diskussionen in Foren wie diesen ab.

Answer 1

Also ich finde deine letzte Version schon sehr überzeugend:

Z.B. Aufgabe 3. a) A = {(k, i) ∈ Z × Z | ki > 10}

 - Prüfung auf Symmetrie:

Zu zeigen ist dass (dann die Def von Symmetrie)

Beweis :

Sei (k,i)∈A(k,i)∈A beliebig. Dann gilt: k⋅i>10⇒i⋅k>10⇒(i,k)∈A. (Dann vielleicht noch 1-2 Sätze

- Prüfung auf Reflexivität:

Zu zeigen ist dass (dann die Def von Reflexivität)

Beweis: Das Gegenbeispiel mit 1-2 Sätzen?

Comments

Ok, dann werde ich das so machen, danke:)