Wie beweise ich durch Induktion eine Ungleichung?

Question

Hallo :)

Ich habe folgende Ungleichung, die ich beweisen soll:

∏ⁿ_k=1   (2k-1)/ 2k  ≥ 1/(n+1)

Folgendes habe ich versuch:

Anfang:  (2*1)-1/(2*1)  ≥   1/(1+1)   →   1/2 = 1/2

Voraussetzung : ∏ⁿ_k=1   (2k-1/2k) ≥ 1/(n+1)

Behauptung: 1/2 * 3/4 * 5/6 *... (2n-1)/2n * ((2* (n+1)-1)/ 2(n+1) ≥ 1/ (n+1)+1

Induktionsschritt:1/2 * 3/4 * 5/6 *... (2n-1)/2n  *  ((2(n+1)-1)/ 2(n+1) ≥ 1/(n+1) * ((2* (n+1)-1)/ 2(n+1)

Jetzt habe ich versucht  diesen Teil 1/(n+1) * ((2 (n+1)-1)/ 2(n+1) so umzuformen, dass er  diesen :1/ (n+1)+1  ergibt, aber das funktioniert nicht :(

Kann mir bitte Jemand weiter helfen?

Answer 1

Hallo Unicorn,

Beim Induktionsschritt ist die rechte Seite der Gleichung falsch. Richtig muss es heißen:

$$\prod \limits_{k=1}^{n+1} \frac{2k-1}{2k} \ge \frac{1}{(n+1) +1} $$

bzw.:

$$\prod \limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k} \space \cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)} = \prod \limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k}  \space \cdot  \frac{2n+1}{2(n+1)} \ge \frac{1}{n+2} $$

nach Induktionsvoraussetzung ist das genau dann richtig, wenn folgendes gilt

$$\frac{1}{n+1} \cdot  \frac{2n+1}{2(n+1)} \ge \frac{1}{n+2} $$

Multiplikation der Ungleichung mit dem Hauptnenner

$$(2n+1) (n+2) \ge 2(n+1)^2$$

und ausmultiplizieren

$$2n^2 + 5n + 2 \ge 2n^2 +4n + 2 \quad \Rightarrow n \ge 0$$

und das ist richtig. q.e.d.

Comments

Danke für die Antwort. :)

Aber kannst du mir vielleicht den einen Schritt noch erklären? Ich verstehe nicht warum man das machen darf: 1/ (n+1) * 2n+1/2(n+1) ≥ 1/(n+2)

Du schreibst das folgt aus der Voraussetzung.... aber ich kann nicht erkenn warum.

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Es ist umgekehrt. Wenn der Zusammenhang

$$\frac{1}{n+1} \cdot  \frac{2n+1}{2(n+1)} \ge \frac{1}{n+2}$$

gilt, genau dann gilt auch

$$\prod \limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k} \cdot  \frac{2n+1}{2(n+1)} \ge \frac{1}{n+2}$$

da

$$\prod \limits_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k} \ge\frac{1}{n+1} $$

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okay, kann ich dann bei folgender Ungleichung analog vorgehen?

 ∏ⁿ_k=1   (2k-1)/ 2k   ≤     1/ √(3n+1)

also so :

1/ √(3n+1) *  (2k-1)/ 2k   ≤ 1/ √(3n+4)

Hier wüsste ich dann aber auch nicht wie ich weiter umformen sollte.... :/

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Induktionsvoraussetzung:

$$\prod \limits_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k} \le \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$$

gilt für \(n=1\). Übergang von \(n\) nach \(n+1\): es ist zu zeigen, dass mit obiger Voraussetzung folgendes gilt:

$$\prod \limits_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k} \space \cdot \frac{2n+1}{2(n+1)} \le \frac{1}{\sqrt{3n+4}}\quad \text{(2)}$$

und Gleichung (2) gilt nach Voraussetzung oben genau dann, wenn folgendes gilt:

$$ \frac{1}{\sqrt{3n+1}} \space \frac{2n+1}{2(n+1)} \le \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \quad \text{(3)}$$

multiplizieren mit Hauptnenner:

$$ (2n+1)  \sqrt{3n+4} \le 2(n+1) \sqrt{3n+1}$$

quadrieren (alle Terme sind positiv, also ist quadrieren ok!)

$$ (2n+1)^2  (3n+4) \le 4(n+1)^2 (3n+1)$$

und ausrechnen

$$12n^3 +28n^2 + 19n + 4 \le  12n^3 + 28n^2 + 20n + 4 \quad \Rightarrow 0 \le n$$

ist also richtig, also ist auch Gleichung (2) richtig!

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:)

Noch eine letzte Frage: du sagst du Multiplizierst mit dem Hauptnenner. Aber welcher ist das in diesem Fall?

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da keine gemeinsamen Faktoren vorkommen, ist der Hauptnenner \(HN\) das Produkt aller vorkommenden Nenner:

$$HN= \sqrt{3n+1} \cdot 2(n+1) \cdot \sqrt{3n+4}$$