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Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?

Wie man das Skalarprodukt errechnet weiß ich-> Einsetzen und Skarlarprodukt ausrechnen, aber wie macht man das mit dem Winkelprodukt ohne Taschenrechner???

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wie macht man das mit dem Winkelprodukt ohne Taschenrechner? 

cos(π/3) = cos(60°) muss man auswendig kennen (Tabelle mit den wichtigsten Cosinuswerten lernen) oder mit dem Pythagoras herleiten können (Definition des Cosinus am Einheitskreis nachlesen). 

Ausserdem gilt nach Definition des Skalarprodukts 

 u*v = |u| * |v| * cos(Zwischenwinkel) 

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Sind die Aufgaben getrennt zu bearbeiten? Also Skalarprodukt der 2 Vektoren ausrechnen und dann a,b; a,c ausrechnen ? Oder ist alles zusammen  zu betrachten?

u = 4a + 3b + ...

v = 7a + 6b + ...

Das Skalarprodukt davon

u*v = (4a + 3b + ... ) * ( 7a + 6b + … )         | Gesetze zu Skalarprodukten

= 28 a*a + 24 a*b + 21 b*a + ... + 18 b*b + ....

Das ist nun eine Summe von Vielfachen von einzelnen Skalarprodukten. Dieses sollst du schrittweise nach der Definition ausrechnen.

Hier etwas ähnliches https://www.mathelounge.de/465140/norm-betrag-von-vektoren-u-v-2-und-u-v-3-was-ist-u-v-2

Und wie rechnest du mit dem Winkel selbst wenn du die auswendig kennt Skalarprodukt * pi/3?

Wenn Du z.B. \(a\cdot b\) berechnen willst, so rechnet man

$$a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos \frac{\pi}{3} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}=3$$

.. das schaffe ich im Kopf!

lol wie kommst du auf 1/2 für cos(pi/3).....

Muss ich jeweils die Skalare für a,b; a,c etc. mit Winkel ausreichnen...

also jedes einzelne Skalar mit Winkel?


oder muss ich erst das allgemeine Skalarprodukt von

(4a + 3b + ... ) * ( 7a + 6b + … ) ausrechnen
und dann die Winkel?

lol wie kommst du auf 1/2 für cos(pi/3)..... 

Zirat: Mein erster Kommentar in der Antwort: 

cos(π/3) = cos(60°) muss man auswendig kennen (Tabelle mit den wichtigsten Cosinuswerten lernen) oder mit dem Pythagoras herleiten können (Definition des Cosinus am Einheitskreis nachlesen).

Muss ich jeweils die Skalare für a,b; a,c etc. mit Winkel ausreichnen...

also jedes einzelne Skalar mit Winkel?

u*v = |u| * |v| * cos(Zwischenwinkel)

a,b,c,… sind Vektoren wie u und v. Betrachte ruhig den Link in meiner Antwort. 

user18697 fragte: "lol wie kommst du auf 1/2 für cos(pi/3)..... ?"

Mache Dich mit dem Einheitskreis und der Definition des Sinus und Cosinus vertraut.

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Das Dreieck \(AB\frac{\pi}{3}\) ist ein gleichseitiges, da der Winkel bei \(A=\frac{\pi}{3}=60°\) beträgt und die beiden Schenkel gleich lang sind. Folglich teilt die Vertikale (Strich-Punkt-Linie)  durch \(\frac{\pi}{3}\) das Dreieck genau mittig und halbiert den Radius \(AB\) (rote Strecke).

Ja, genau das habe ich mir ja genau angeschaut und begriffen... Deswegen ja habe ich sofort eine neue rätselhafte eigentlich grundlegende Frage in dem Raum geworfen :)

.. und ist Deine grundlegende Frage 'wieso ist \(\cos \frac{\pi}{3}=\frac12\)?' damit beantwortet, oder gibt es noch Klärungsbedarf?

Die Frage habe ich mir schon selber beantwortet, sry, wenn du dir die Mühe machen musstest

Diese Frage ist aber für mich primär wichig (Verständnisfrage): Muss ich jeweils die Skalare für a,b; a,c etc. mit Winkel ausreichnen...

also jedes einzelne Skalar mit Winkel?


STEHT ja da; a,b; a,c etc.. muss ich jedes einzelne ausrechnen oder einmal..
Kannst du das bitte mit Beispiel vormachen, damit ich bei den Aufgaben nichts falschesmache?
Bei Beispielen musste nicht genaue Zahlen reinmachen, genügt schon |a|*|b|*cos....

Kannst du mir bitte bei meiner Verständnisfrage helfen, da du anscheinend dich auf diese eine Frage, die sich ohnehin schon längst geklärt hat... Sry, dass ich das nicht vorher gesagt habe.. Bitte hilf mir...

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Hallo user18697,

In der Aufgabe heißt es: "Berechnen Sie das Skalarprodukt ... "

Du fragtest: "Muss ich jeweils die Skalare für a,b; a,c etc. mit Winkel ausreichnen... also jedes einzelne Skalar mit Winkel?"

Wenn Du mit 'Skalar für a,b' das Skalarprodukt \(a\cdot b\) meinst, so ist die Antwort: Ja! wobei das mit den gegebenen Angaben relativ einfach ist. Es ist

$$a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\angle (a,b))$$

Die Beträge von \(a\) und \(b\) sind gegeben und der Winkel zwischen zwei WInkel soll immer \(\frac{\pi}{3} = 60°\) betragen. Folglich ist

$$ \cos(\angle (a,b)) = \cos(60°) = \frac12$$

alles einsetzen

$$a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\angle (a,b))=3 \cdot 2 \cdot \frac12 = 3$$

Jetzt zu dem Skalarprodukt aus der Aufgabe: es ist zu berechnen:

$$(4a+3b+2c)\cdot(7a+6b+5c)= ?$$

Das rechnest Du zunächst genau so, wie mit 'normalen Zahlen' - also:

$$(4a+3b+2c)\cdot(7a+6b+5c)= 28a^2 + 45ab + 34ac + 18b^2 + 27bc + 10c^2 = ?$$ und nun ist (s.o.)

$$a^2=3 \cdot 3=9; \quad b^2 = 2\cdot 2=4; \quad c^2=1\cdot 1=1$$

und die anderen sind - wie oben schon vorgerechnet:

$$ab= 3; \quad ac= 3 \cdot 1 \cdot \frac12 = 1,5; \quad bc= 2\cdot 1 \cdot \frac12 = 1$$

Das setzt man alles ein und die Lösung ist \(=547\) (wenn ich mich nicht verrechnet habe!).

Falls Du noch Fragen dazu hast, so frage bitte nach.

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