Hallo user18697,
In der Aufgabe heißt es: "Berechnen Sie das Skalarprodukt ... "
Du fragtest: "Muss ich jeweils die Skalare für a,b; a,c etc. mit Winkel ausreichnen... also jedes einzelne Skalar mit Winkel?"
Wenn Du mit 'Skalar für a,b' das Skalarprodukt \(a\cdot b\) meinst, so ist die Antwort: Ja! wobei das mit den gegebenen Angaben relativ einfach ist. Es ist
$$a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\angle (a,b))$$
Die Beträge von \(a\) und \(b\) sind gegeben und der Winkel zwischen zwei WInkel soll immer \(\frac{\pi}{3} = 60°\) betragen. Folglich ist
$$ \cos(\angle (a,b)) = \cos(60°) = \frac12$$
alles einsetzen
$$a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\angle (a,b))=3 \cdot 2 \cdot \frac12 = 3$$
Jetzt zu dem Skalarprodukt aus der Aufgabe: es ist zu berechnen:
$$(4a+3b+2c)\cdot(7a+6b+5c)= ?$$
Das rechnest Du zunächst genau so, wie mit 'normalen Zahlen' - also:
$$(4a+3b+2c)\cdot(7a+6b+5c)= 28a^2 + 45ab + 34ac + 18b^2 + 27bc + 10c^2 = ?$$ und nun ist (s.o.)
$$a^2=3 \cdot 3=9; \quad b^2 = 2\cdot 2=4; \quad c^2=1\cdot 1=1$$
und die anderen sind - wie oben schon vorgerechnet:
$$ab= 3; \quad ac= 3 \cdot 1 \cdot \frac12 = 1,5; \quad bc= 2\cdot 1 \cdot \frac12 = 1$$
Das setzt man alles ein und die Lösung ist \(=547\) (wenn ich mich nicht verrechnet habe!).
Falls Du noch Fragen dazu hast, so frage bitte nach.
