Bestimme ob rekursive Folge konvergent ist

Question

könnt ihr mir etwas helfen?

$${ x }_{ 1 }^{  }=42,\quad { x }_{ n+1 }=\frac { 5 }{ 7 } *{ x }_{ n }$$

Ich möchte bestimmen, ob diese rekursive Folge konvergiert (und welchen Grenzwert) oder divergiert.

Dafür habe ich mir die ersten Glieder angesehen und würde sagen, die Folge wird nie negativ und immer kleiner, daher monoton fallend. Nun könnte man wohl mit dem Monotoniekriterium argumentieren, welches ja Beschränktheit und Monotonie fordert. Konvergiert also gegen 0.

Aber wie ich das mathematisch erkläre/zeige/beweise...

Answer 1

Dafür habe ich mir die ersten Glieder angesehen und würde sagen, die Folge wird nie negativ und immer kleiner, daher monoton fallend.

Das kannst du auch beweisen; denn monoton fallend heißt ja:

Für alle n ∈ ℕ gilt a_n+1 ≤ a_n    

wegen deiner Rekursion hast du    

                      a_n+1  =  5/7  *   a_n   <   a_n     da   immer   a_n   > 0  ist .

                  Also monoton fallend und nach unten beschränkt ==> konvergent.

Dass 0 der Grenzwert ist, zeigt sich vielleicht so:

da    a_n+1  und  a_n    den gleichen Grenzwert g haben, gilt   g =  5/7  * g 

                      also 2/7 * g = 0     also  g = 0 .