Grenzwert bestimmen von lim_x->a = (x4 - a4) / (x - a)

Question

Wie bestimme ich den Grenzwert :

lim_x->a = (x⁴ - a⁴) / (x - a)

Answer 1

Hallo unstopp4le,

(x⁴ - a⁴) / (x - a)  =_{Polynomdivision}   x³ + a·x² + a²·x + a³    für x≠a

lim_x→a (x³ + a·x² + a²·x + a³ ) = 4a³ 

Bei der Polynomdivision (Kontrolle!) hilft ggf. dieser Online-Rechner (mit Lösungsweg):

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision

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Nachtrag:

Hier einfacher mit der 3. binomischen Formel:

x⁴ - a⁴ = (x² - a²) * (x² + a²) = (x-a) * (x+a) * (x² + a²) 

Dann kannst du (x-a) wegkürzen 

lim_x→a  (x+a) * (x² + a²)  = 2a * 2a²  = 4a³

Gruß Wolfgang

Comments

@Unstopp4le

Schau dir noch meinen Nachtrag an :-)

Answer 2

$$\lim_{x\to a}\frac{x^4-a^4}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)(x^3+ax^2+a^2x+a^3)}{x-a}\\\lim_{x\to a}x^3+ax^2+a^2x+a^3=a^3+a^3+a^3+a^3=4a^3$$

Answer 3

Da 0 / 0 : L´Hospital
(x⁴ - a⁴) `/ (x - a) ´
4x³ / 1
lim x −> a
4a³