Schnittgerade bestimmen und besondere Lage im Koordinatensystem

Question

 

gegebene Ebenen: E: 3x1+2x2-3x3=6 und F: 2x1+2x2-3x3=0  

gesucht: Die Gleichung der Schnittgeraden von E und F. Welche besondere Lage  hat die Gerade im Koordinatensystem ?

ich habe zunächst mit dem Gaußverfahren herausgefunden dass x1=6 ist. Wie komme ich auf x2 und x3 und dann in die Parameterform ? Die Treppenform funktioniert bei zwei Ebenen hier nicht für alles (x1,x2 und x3 (Gaußverfahren). 

Answer 1

3x1+2x2-3x3=6
2x1+2x2-3x3=0    2. Gleichung minus erste

3x1+2x2-3x3=6
-x1               =-6

Das ist dann die Treppenform, also 

x1=-6   x2 beliebig etwa x2=t   und dann 

3*-6+2t-3x3=6

                x3= 8 + (2/3) t

Schnittgerade:

         -6                                 -6                          0
x =    t                           =       0          +     t  *     1
        8 + (2/3) t                       8                          (2/3) 

Die Punkte der  Gerade ändern ihren x1-Wert nie, also parallel zur x2x3-Ebene.

Comments

Danke, aber muss bei deiner Antwort in der Rechnung bei der 4. zeile nicht -x1=-6  statt 2x1 =-6 stehen und dann die folgenden Rechnungen auch ? 

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\(x_1=6\)  und nicht \(-6\)

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Stimmt, wieder mal verrechnet.

Answer 2

Setze x₁ = 6 und x₃ = r in eine der Gleichungen ein. Forme nach x₂ um.

Schreibe untereinander eine 6, die Lösung aus obiger Umformung und ein r_. Packe Klammern drum, so dass es wie ein Vektor aussieht. Packe davor ein "\(\vec{x}=\)".

Answer 3

 

die Schnittgerade hat den Vektor  \(\vec{u}\)  =  [3, 2, -3] ⨯ [2, 2, -3]  =  [0, 3, 2]  als Richtungsvektor.

E:  3x₁ +2x₂ -3x₃  = 6     und     F:   2x₁ + 2x₂ - 3x₃ = 0  

Wählt man für einen gemeinsamen Punkt von E und F  x₃ = 0,  hat man

3x₁ +2x₂   = 6   und   2x₁ + 2x₂ = 0  

G1 - G2   →   x₁  = 6   →_{in G2 einsetzen}   12 + 2x₂ = 0   →  x₂ = -6

die Schnittgerade  enthält den Punkt  (6 | -6 | 0)

g_s :   \(\vec{x}\)  =  [6, -6, 0]  +  r * [0, 3, 2] 

Das ist eine Parallele zur x₂-x₃ - Ebene  im Abstand 6

Gruß Wolfgang

Comments

Ich verstehe in Ihrer Lösung nicht ganz wieso man überhaupt x3=0 wählen darf, also warum ist es ein gemeinsamer Punkt ?

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x₃ = 0 ist kein  gemeinsamer Punkt, sondern eine  Koordinate eines sochen.

Die beiden dazu passenden Koordinaten  x₁  und x₂  rechnet man dazu passend aus den 2 Ebenengleichungen aus.   

Answer 4

Wenn \(x_1=6\) ist, so heißt dass doch, dass sich die gesuchte Gerade in einer Ebene parallel zur \(x_2\)-\(x_3\)-Ebene im Abstand von 6 befindet, was dann auch gleich die Frage nach der Lage im Koordinatensystem beantwortet. Vereinfache das Gleichungssystem so, dass \(x_1\) heraus fällt. Also z.B. \(E_1\) mit 2 multiplizieren und \(E_2\) mit 3 und beide von einander abziehen. Gibt:

$$0 -2x_2 + 3x_3 = 12$$

Daraus folgt

$$x_3= 4 + \frac23 x_2$$

Setzt man nun \(x_2=t\) so erhält man für die drei Koordinaten \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\):

$$\begin{aligned} x_1&=6 \\ x_2 &= t \\ x_3 &= 4 + \frac23 t\end{aligned}$$

bzw.$$g: \space x = \begin{pmatrix} 6\\ 0\\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \frac23 \end{pmatrix}$$ für den Richtungsvektor kann man auch \((0; 3; 2)^T\) schreiben, da die Länge keine Rolle spielt.

Gruß Werner

Comments

Danke für die Antwort, ist eigentlich die verständlichste für mich!

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Bitteschön, gern geschehen :-)