Welche der folgenden Teilmengen Ui , i ∈ {1, . . . , 5}, von Sym(X) sind Untergruppen von Sym(X)?

Question

Es seien X = {1, 2, 3, 4} und Sym(X) die Gruppe der Bijektionen f : X → X mit der Komposition von Abbildungen als Verknupfung. Welche der folgenden Teilmengen Ui , i ∈ {1, . . . , 5}, von Sym(X) sind Untergruppen von Sym(X)? 

U2 = { f ∈ Sym(X) | f(1) ∈ {1, 2} }

U4 = { f ∈ Sym(X) | f ◦ f = idX}.

  kann jmd. mir bei der Aufgabe helfen ? Ich habe leider keinen Ansatz und weiß nur ,dass ich zuerst zeigen muss, ob idx in U liegt..

bei U2 habe ichs probiert zu beweisen, ob idx in U , da aber f bijektiv ist, und idx(1)=1 v idx(1)=2 liegt idx nicht in U oder?

MfG

Answer 1

U2 ist keine Untergruppe.

Denn wenn du ein f hast mit f(1)=2  und f(2) = 3  dann ist f ∈ U2 ,

aber es ist fof(1) = f(2) = 3   Also nicht wieder in U2.

Also U2 nicht abgeschlossen.

Bei U4 musst du ja nur zeigen:

 id ∈ U4 und

zu jedem f  ∈ U4  auch f^-1  ∈ U4  und

Abgeschlossenheit ,

1. ist klar

2. auch klar, weil  f^-1 o  f^-1  = (fof) ^-1 = id ^-1 = id.

3. ist aber falsch. Gegenbeispiel

f:    1 ---> 2
      2 ---> 1
      3 ---->  4
      4 ---->  3

g:    1 ---> 3
      2 ---> 4
      3 ---->  1
      4 ---->  2

Comments

Dein "Gegenbeispiel" ist zwar keins, aber 3. ist trotzdem falsch.

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Ich dachte es stimmt:

f und g sind Bijektionen von X nach X

(Auf den ausführlichen  Nachweis verzichte ich, kann ihn aber

nachliefern.)

Außerdem gilt fof = id und gog=id

fog  ≠  id

1  ---> 3  ---> 4
2  ---> 4 --->  3
3 --->  1 ---> 2
4 --->  2 ---> 1

Vielleicht kann hj2166 seinen Kommentar

etwas präzisieren ?

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Es ist nicht   f o g  =  id   zu testen, sondern ob   f o g  ∈  U₄  ist.

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Ah ja, danke für den Tipp.

Also braucht man was, bei dem

( f o g  ) o  ( f o g  ) ungleich id ist.

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Denn wenn du ein f hast mit f(1)=2  und f(2) = 3  dann ist f ∈ U2 

mhmm ,wieso kommt man auf f(2)=3 ?

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kannst du mir vil. zeigen, welche Schritte ich für den Beweis brauch? Danke

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Bei U2 brauchst du ja nur eine Funktion, die bei

Hintereinanderausführung mit sich selbst nicht mehr in U2 ist.

Hättest auch z.B. f(2)=4 nehmen können.

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was passiert, wenn bei U2 anstatt f(1) element 1,2 f(1),f(2)= 1,2 gilt?

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also ich habs versucht mit f(1)=1 und f(1)=2 f(2)=1 und f(2)=2 zu beweisen, dass f element U ist und mit f o g^-1(1)=2 f o g^-1(2)=1 fog^-1(2)=2 zu zeigen, dass  fog^-1 element U ist . Stimmt das ?

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Wieso hast du g^-1 genommen ?

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hab ja angenommen, dass f,g Element U ist und wollte zeigen dass f o g^-1 element U ist.  In der Vorlesung haben wir das so gemacht..

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hab mir gerade auch die Def. von Untergruppenkriterium angeschaut, da muss man eig. auch g^-1 nehmen um zu prüfen, ob f o g^-1 in U liegt

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OK, damit sparst du dir den Nachweis von id ∈ U und zu jedem

f auch f^-1 ∈ U.

Allerdings musst du das dann - so denke ich - mit einer vollständigen Fallunterscheidung machen, etwa so:

Seien f und g aus U.

Dann gilt    f o g^-1(1)=f(1) oder   f o g^-1(1)= f(2)

Da das g-Urbild von 1 nur 1 oder 2 sein kann.

Da aber sowohl f(1) als auch f(2) aus {1;2} sind, ist also

jedenfalls  f o g^-1(1) aus  {1;2}

Entsprechend folgt   f o g^-1(2) aus   {1;2} , also

ist  f o g^-1  aus U.

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genauso habe ich aufm Blatt gemacht! Vielen Dank für deine Hilfe!

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Also braucht man was, bei dem

( f o g  ) o  ( f o g  ) ungleich id ist.

mit meinem Beweis habe ich ,dass ( f o g  ) o  ( f o g  )=id ist ,da id bijektiv ist und ( f o g  ) o  ( f o g  ) durch Permutation auch bijektiv ist. hab (1,2,3,4->2,1,4,3)o(1,2,3,4->3,4,1,2)=(1,2,3,4->4,3,2,1). Das Ergebnis ist schon bijektiv oder? mache ich da was falsche?