E-Funktion -> Beweisen, dass eine tägliche Besucherzahl, nachdem sie ihr Maximum erreicht hat, dauerhaft abnimmt

Question

Nach Eröffnung einer neuen Attraktion werde die erwarteten täglichen Besucherzahlen eines Vergnügungspark modellhaft durch f mit f(x) = 100 * (x - 10)* e^-0,05x + 10000 ( x Anzahl der Tage nach Eröffnung der Attraktion) berechnet.

c), Beweisen Sie, dass die tägliche Besucherzahl, nachdem sie ihr Maximum erreicht hat, dauerhaft abnimmt.

Das Maximum hab ich bereits berechnet, jedoch weiß ich nicht wie ich hier weiterkomme....

Bei Aufgabe d). wird danach gefragt, wann die tägliche Besucherzahl am stärksten ab, wann sie am stärksten zu nimmt (hier habe ich die Wendepunkte berechnet ... was soll ich nun bei c). berechnen???

Answer 1

Zu c) Sei x_E die Stelle des Maximums. Dann ist für x>x_E zu zeigen: f '(x)<0.

Answer 2

 f ( x ) = 100 * ( x - 10 ) * e ^{-0,05*x} + 10000
 f ´( x ) = 100 * [ ( 1) * e ^{-0,05*x} +
                          ( x - 10 ) * e ^{-0,05*x} * ( -0,05 ) ]
f ´( x ) = 100 * e ^{-0,05*x} * ( 1 - 0.05 * x + 0.5 )
f ´( x ) = 100 * e ^{-0,05*x} * ( 1.5 - 0.05 * x )

x-Stelle mit waagerecher Tangente
100 * e ^{-0,05*x} * ( 1.5 - 0.05 * x ) = 0
=> 1.5 - 0.05 * x = 0
x = 30
( wäre noch zu zeigen das dies ein Extrem-
bzw. Hochpunkt ist

Steigung : fallend
100 * e ^{-0,05*x} *  ( 1.5 - 0.05 * x ) < 0
=>
1.5 - 0.05 * x < 0
x > 30

Die Lösung wurde graphisch überprüft.