Vollständige Induktion ∏(1+(2/c) = ∑(c)

Question

Induktions Anfang hab ich schon erledigt. Ich glaube bei mir ist das Problem im Induktionsschritt:
n -> n+1:
∏ (1+(2/c) = ∑ (c)

rechts von der Gleichung:
∑ (c) = 1 + 2 + ... + n + (n+1) + (n+2)

links von der Gleichung:
∏ (1+(2/c) = ∑ (c) ) * ( 1+(2/c) = 1 + 2/(n+1) + 2 + 4/(n+1) + ... + (n+1) + (2*(n+1))/(n+1)

Jetzt weiß ich nicht wie ich von der linken seite der Gleichung auf die rechte komme.
Kann mir wer helfen?

Answer 1

Der Indultionsschluss sieht wie folgt aus $$  \prod_{k=1}^{n+1} \left( 1+\frac{2}{k} \right) =  \sum_{k=1}^{n+1} k \left( 1+\frac{2}{n+1} \right) =  \sum_{k=1}^{n+1} k + \frac{2}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^{n+1} k + \frac{2(n+1)(n+2)}{2(n+1)} = \sum_{k=1}^{n+2} k $$

Comments

Ich verstehe nicht genau wie du von

2/(n+1) * ∑k

auf

(2(n+1)(n+2))/(2(n+1)) kommst. Und von da aus auf das letzte der gleichung.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel