Fundamentalsatz der Algebra und einheitswurzel

Question

Hat jemand eine Idee, wie kann man diese Aufgabe lösen ?

Answer 1

Hallo,

wenn du bei (i) \( \omega = a_i \) einsetzt, kannst du \( z^n - 1 = 0 \) nach \( z \) umstellen.

Bei (ii) erreichst du die Aussage durch Multiplikation der Gleichung mit \( z - \omega \). Du erhältst eine Teleskopsumme.

Bei (iii) genügt es, die \( n \) Einheitswurzeln anzugeben und zu bemerken, dass diese paarweise verschieden sind. Sie lauten \( a_j = \exp\left( 2 \pi i \frac{j}{n} \right) \).

Über die explizite Nennung in Aufgabe (iii) lassen sich die dritten Einheitswurzeln durch \( n = 3 \) und \( j = 1, 2, 3 \) gewinnen.

Viel Spaß beim Lösen.

Grüße

Mister

Comments

Hey Mister ,

Bei (ii) wie kann ich die Teleskopsumme erhalten ? ich habe durch z−ω multipliziert aber leider habe ich keine Lösung gefunden.

Bei (iii) habe ich nicht verstanden , was meinen Sie genau ? 

 

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Bei einer Teleskopsumme heben sich viele Summanden weg, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme.

Bei (iii) gilt zu zeigen, dass \( a_j \) eine \(n\)-te Einheitswurzel ist. Für \( j \neq k \) mit \( 1 \leq j \leq n \) und \( 1 \leq k \leq n \) gilt \( a_j \neq a_k \). Die Einheitswurzeln liegen auf dem Einheitskreis, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitswurzel.