Konvergenz bzw. Divergenz einer Potenzreihe in den Randpunkten

Question

folgende Potenzreihe :

$$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{1\cdot3\cdot....\cdot(2n-1)}\cdot x^n} $$

meine Frage bezieht sich auf die Randpunkte, bin nämlich auf einen Konvergenzradius von 1 gekommen und hätte dan gesagt, dass die Reihe im Punkt x= -1  nach Leibniz konvergiert und im Punkt x =1 divergiert, da verschobene harmonische Reihe.

Ist das korrekt ? Bei der Begründung im Punkt x =1 bin ich mir nicht so sicher.

vielen Dank schon mal

LG

Comments

Gib doch mal Deine Rechnung zur Bestimmung des Konvergenzradiuses an. Dein Ergebnis 1 stimmt gar nicht.

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mit r = 1/(lim sup (abs(an))^{1/n}) für n -->∞ hab ich gedacht das ich jeden Faktor einzeln betrachte und davon die n-te Wurzel nehme und im Grenzwert ist die n-te Wurzel einer Konstanten ja 1. Ich hab mir also gedacht das ich im Grenzwert nur 1 aufmultipliziere. Und dann halt eben 1/1 =1, so bin ich auf den Radius gekommen

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Das gilt nur für eine feste Anzahl von Faktoren, hier werden es ja mit \(n\) immer mehr. Nach Deiner Logik waere sonst \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=1\) und \(\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=1\), was ja wohl nicht stimmen kann: Die Exponentialreihe haette nur Konvergenzradius \(1\) und die Eulersche Zahl waere \(1\).

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also ist der Radius ∞  die Reihe konvergiert somit auf ganz ℝ ?

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Stimmen tut's zwar, aber interessanter ist ja wohl, wie man dieses Ergebnis erhaelt. Also: wie?

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wenn ich den Radius ausrechne wie das erste mal, würde ich dann 1/(1/∞) also ∞ im Grenzwert erhalten. Anders könnte ich ja argumentieren, dass die Reihe genau dann konvergiert, wenn $$ \lim sup _{n\to\infty}\sqrt[n]{abs(an)*abs(x^n)} < 1$$ erfüllt ist . Da der lim von a_n 0 ist, ist die Gleichung für jedes x∈ℝ erfüllt. Würde das dann eig auch für x∈ ℂ gelten ? Ja oder?

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Und wie hast Du jetzt \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2n-1)}=\infty\) erhalten?

Hast Du schon mitbekommen, dass es zwei Formeln für den Konvergenzradius gibt? Wenn die eine nicht so recht will, geht vielleicht die andere besser.

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aber wie würde ich aus $$ \lim_{n\to\infty}\frac{2*4*...*(2n)}{1*3*...*(2n-1)} $$

unendlich als Grenzwert bekommen ? ( Falls es überhaupt richtig aufgeschrieben ist ) Man multipliziert immer Brüche > 1 auf, reicht das schon für die argumentation ? eine oder?

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Ich weiss nicht, wo Du den Limesausdruck her hast. Die Aufgabe jedenfalls macht man nicht mit der Formel von Cauchy-Hadamard, sondern mit der von Euler: $$r=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}$$

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ja genau das meine ich, wenn ich jetzt a_n und a_n+1 einsetzten würde, bin ich auf das gekommen was ich geschrieben habe. Wie würde es den richtig aussehen und falls meine eingabe richtig ist, wie würde man auf die ∞ kommen ?

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\(a_1=1,\ a_2=1\cdot3,\ a_3=1\cdot3\cdot5,\ a_4=1\cdot3\cdot5\cdot7,\ldots\)

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seh gerade das es eig 2n+1 sein müsste, dann müsste sich ja fast alles wegkürzen und so kommt sodass nur noch $$ \lim_{n\to\infty} 2n*(2n+1) $$ stehen müsste und so kommt man auf die Unendlich. Stimmt das so jetzt ^^ ?

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Nein. Aber es wird besser. :)

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ups auch noch ohne die 2n oder?