Berechnen Sie den Wert dieser Reihe

Question

Kann Jemand mir helfen bitte

Answer 1

Hallo sofian!

Die innere Summe berechnen wir mit $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{n-k}y^k = (x+y)^n = \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \right)^n = \left(\frac{5}{6} \right)^n$. Übrig bleibt eine geometrische Reihe, deren Grenzwert wir mit der geometrischen Summenformel berechnen können.

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}2^{-k}3^{k-n}} \right) = \\\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}}\frac{1}{3^{n-k} } \cdot \frac{1}{2^k}\right) = \\\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}}\left( \frac{1}{3}\right)^{n-k} \cdot \left( \frac{1}{2}\right)^k\right) =\\\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{5}{6} \right)^n = \frac{1}{1-\frac{5}{6}} = 6\\$$ Grüße