Konstanten a und b von e-Funktion bestimmen

Question

Die Aufgabenstellung lautet:

g(t)= a*t*e^{-b*t}

Bestimmen Sie die Konstanten a und b, wenn die Konzentration genau vier Stunden nach der Einnahme ihren größten Wert von 10 mg erreichen soll.

Ich komme leider nicht auf die richtigen Werte, deshalb wäre es hilfreich, wenn mir jemand die Lösung mit Rechenweg erklären könnte.

LG

Answer 1

Hi,

die Aufgabenstellung gibt folgende Informationen:
1.) Die Konzentration nach 4 Stunden beträgt 10 mg, d.h. f(4)=10
2.) 10mg ist der größte Wert, d.h. an der Stelle t=4 liegt ein Hochpunkt vor, was wiederum f'(4)=0 (erste Ableitung an der Stelle 4 gleich Null ) und f''(4)<0 (zweite Ableitung an der Stelle 4 echt größer als 0) bedeutet.

Was kannst du nun tun?

Comments

Als erstes bestimmt man die Ableitung der Funktion. Dann setzt man diese mit 0 gleich und wendet den Satz vom Nullprodukt an. Dadurch erhält man den Wert für t und durch das Umformen auch den Wert für b.

Allerdings weiß ich danach nicht ganz weiter. Wenn ich b in die Originalfunktion einsetze, mache ich etwas falsch und ich erziele dann leider nicht den richtigen Wert für a.

Answer 2

Ich nehme an, dass dies der Weg zu Deiner Lösung sein könnte (siehe d)

Answer 3

g ( t ) = a * t * e^-b*t
g ´ ( t ) = a * ( 1 * e^-b*t + t * e^{-b*t} * (-b) )

g ( 4 ) = 10
g ´( 4 ) = 0

a * ( 1 * e^-b*4 + t * e^{-b*4} * (-b) ) = 0
e^-b*4 - 4 * e^{-b*4} *  b  = 0
e^-b*4 = 4 * e^{-b*4} *  b  = 0
1 = 4 * b
b = 1/4

g ( t ) = a * t * e^{-1/4*t} = 10
g ( 4 ) = a * 4 * e^{-1/4*4} = 10
a * 4 * e^{-1} = 10
a = 10 * e / 4
a = 2.5 * e