Beweis Äquivalenz Dimension Bild Kern

Question

wie kann ich diese äquivalenz am besten? kann mir jemand das erklären?

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Vom Duplikat:

Titel: beweisen von injektivität beuüglich lineare abbildung

Stichworte: injektiv,abbildung,lineare

ich sitze an dem unterem beweis. kann mir jeman ansätze geben wie cih die rückrichtung von injektivität (ψ o φ ) nach ander richtung zeigen kann?

Answer 1

Die eine Richtung geht so:

Sei φ injektiv  (1)

und Kern(Ψ) ∩ Bild(φ) = {0}  (2) .

Seien nun x und y aus V mit

(ψ o φ )(x) = (ψ o φ )(y)  also

(ψ o φ )(x) - (ψ o φ )(y)  = 0

ψ ( φ (x)) -  ψ ( φ (y))   = 0  wegen der Linearität von ψ also

ψ ( φ (x) - φ (y))   = 0  und  wegen der Linearität von φ

ψ ( φ (x -y))   = 0 , also φ (x -y) ∈ Kern(ψ)

                 außerdem ist  φ (x -y) das Bild von x-y , also in Bild(φ)

wegen (2) ist damit   φ (x -y) = 0

also   φ (x)  - φ (y) = 0

also     φ (x)  = φ (y) und damit wegen (1)   x=y .

Damit ist die Injektivität von ψ o φ  gezeigt.

Versuch mal die andere Richtung.

Comments

Geht die rückrichtung nicht genauso wie die Hinrichtung ? Dadurch dass Injektivität von ψ o φ  gegeben ist , folgt Jaa das der Kern der beiden {0} ist und kann man das nicht weiterführen ?

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falsche frage gestellt