> Ich hab keine Ahnung, was ich hier zeigen muss
Du musst zeigen, dass die Addition in ℕ eindeutig ist.
> wie ich anfangen soll
Eindeutigkeit zeigt man normalerweise, indem man zwei Objekte erschafft, die die genannte Eigenschaft haben und dann zeigt, dass die zwei Objekte gleich sind.
Seien also a, b, x1, x2 ∈ ℕ, so dass
(1) a+b = x1
und
(2) a+b=x2
ist. Falls b = 0 ist, dann ist einersseits
x1 = a+b = a+0 = a
wegen (1) und (Addition der Null) und andererseits
x2 = a+b = a+0 = a
wegen (2) und (Addition der Null). Also ist x1 = x2.
Sei nun b > 0 und a+q sei eindeutig für alle q < b. Ferner sei p ∈ ℕ mit p' = b (laut einem der Peano-Axiome existiert ein solches p und laut einem anderen ist es durch b eindeutig bestimmt). Dann ist einerseits
x1 = a+b (wegen 1)
= a+p' (laut Definition von p)
= (a+p)' (laut Addition des Nachfolgers einer Zahl).
Wegen p < b ist a+p eindeutig. Wegen Eindeutigkeit des Nachfolgers (eines der Peano-Axiome) ist (a+p)'. Analog dazu ist auch
x2 = a+b (wegen 2)
= a+p' (laut Definition von p)
= (a+p)' (laut Addition des Nachfolgers einer Zahl).
Also ist x1 = x2. Mittels vollständiger Induktion (auch eines der Peano-Axiome) folgt dass a+b für alle a,b ∈ ℕ eindeutig ist.
