Logarithmus "-7ln(3-x)" zeichnen

Question

brauche bitte Hilfe zu dieser Aufgabe:

Hab leider keine Ahnung, wie man da ansetzen könnte. Desweiteren weiß ich auch nicht, was "Monotonie" und "Asymptoten" sind :-/

Answer 1

1) -7(ln(3-x)= 0

ln(3-x)=0

3-x= e^0= 1

x=2

2) f(0)= -7*ln(3-0) = -7*ln3 = ...

5) Def. bereich:

3-x>0 --> x<3 --D = ]-oo;3[

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-7*ln(3-x)

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Danke für deine Antwort!! :-)

Eine Frage noch: Warum 2 Graphen? Was besagt die andere?

Und wüsstest du, wie man 3) und 4) einzeichnet?

Answer 2

Hi,

die ersten beiden Teile gehen recht schnell.

Für den Schnittpunkt mit der x-Achse musst du die Funktion f(x) = -7 · ln(3-x) gleich 0 setzen und dann nach x auflösen, da ein Schnittpunkt mit der x-Achse ja nichts anderes bedeutet als das der Fuktionswert an dieser Stelle 0 ist.

Für den Schnittpunkt mit der y-Achse musst du x = 0 in f(x) einsetzen, da y-Achse ja genau senkrecht durch x = 0 verläuft.

Für die Monotonie musst du die Ableitung berechnen.

Schmiegelinien/Asymptoten schmiegen sich an eine Funktion ran. Hier mal ein Beispiel:

~plot~ x^2; 4x-4.; x-0.27 ~plot~
(Achtung: Die Schmiegelinien habe ich nicht exakt berechnet, sondern nur grob eingezeichnet. Die Gleichungen stimmen wohl also nicht exakt. Mir geht es hier lediglich darum, dass du siehst, was Schmiegelinien tun.)

Der blaue Funktionsgraph ist die Normalparabel. Die anderen beiden Geraden sind Schmiegelinien der Normalparabel an den Stellen x = 0.5 und x = 2. Sie schmiegen sich an die Funktion. Sie verlaufen immer durch einen Punkt der Funktion und besitzen als Steigung die Steigung der Funktion an diesem Punkt. Die rote Schmiegelinie geht durch den Punkt (2|f(2))=(2|4) und hat die Steigung f'(2)=2·2=4.

Für den Definitionsbereich schaust du welche Werte du für x einsetzen darfst. Tipp: Innerhalb der Klammer des Logarithmus dürfen nur positive Zahlen stehen.

Comments

Danke für deine ausführliche Antwort

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Bitteschon :)

Du gehst wie folgt vor:
0 = -7 · ln(3-x)

Die Frage ist: Für welche x wird der Term auf der rechten Seite 0? Ein Produkt ist dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Nun musst du schauen, wann ln(3-x) gleich 0 ist. Tipp: Der natürliche Logarithmus, d.h. ln(x), hat in x = 1 den Wert 0.

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Also x = 2 und y = -7,7

?

Aber wie berechnet man jetzt die Ableitung?

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Korrekt.

Es gilt:
$$(ln(x))'=\frac{1}{x} \cdot 1 =\frac{1}{x}$$

Hierbei ist 1/x die äußere und 1 die innere Ableitung.

Was erhältst du nun für deine Funktion? 

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ln(x)' = 1/x ?

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Ich meinte was das Ergebnis für

$$(-7 \cdot ln(3-x))'$$

ist. Die Konstante -7 bleibt beim Ableiten erhalten. Was schaut's mit ln(3-x)? Innere mal äußere Ableitung bilden.

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Achso sorry, aber das weiß ich nicht :-/

Kannst du mir eventuell die Lösung einfach schreiben, für mich ist das einfach zu schwer :-/

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Wir wollen dir hier ja helfen. Es geht ja darum, dass du was lernst.

Ganz allgemein gilt:

$$(ln(f(x)))' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)$$

Das hätte ich vielleicht vorher schon schreiben sollen. Nun ist dein f(x)=3-x. Was ist somit deine Ableitung f'(x)?

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f'(x) = 1/(3-x)

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Das wäre die äußere Ableitung von ln(3-x). Das ist schon mal gut. Jetzt fehlt nur noch f'(x), d.h. (3-x)'.

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Ist das dann 1?

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Fast, bedenke, dass ein Minus vor dem x steht.

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Also dann -1 ?

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Korrekt :)

D.h. 

$$(ln(3-x))'=-\frac{1}{3-x}$$

Das ist die Monotonie. Nun wollen wir diese Funktione zeichnen.

Wir schauen uns zunächst mal die Funktion 1/x an:

~plot~ 1/x ~plot~

Die Funktion ist in x = 0 nicht definiert, da man ja dort durch 0 teilen würde. Und das darf man nicht! 

Nun haben wir da aber noch ein Minus vor dem x. Wichtig ist, dass du verstehst, was das an dem Graphen ändert. Dort, wo wir vorher z.b. x = 2 eingesetzt haben, kommt jetzt der Wert für x = -2 raus. Dort, wo wir vorher x = -5 eingesetzt haben, kommt nun der Wert für x = 5 raus. D.h. unser Graph 1/x wird an der x-Achse gespiegelt.

~plot~ 1/-x ~plot~

Nun steht da noch eine 3. Die 3 bewirkt, dass wir unseren Graph um 3 Einheiten bzgl. der x-Achse nach rechts verschieben. Ich merke mir das mit dem Verschieben immer so: Dass ich um 3 Einheiten verschieben muss, ist klar, da dort eine 3 steht. Die Richtung, also ob nach links oder nach rechts, ist wichtig. Ich frage mich, was muss ich einsetzen, damit 3-x die 0 ergibt. Die Antwort ist 3. Ich hatte bei 1/-x meine Definitionslücke bei x = 0. Nun habe ich sie bei x = 3. D.h. der Graph muss also um 3 Einheiten nach rechts verschoben werden.

~plot~ 1/(3-x) ~plot~

Nun eine Frage an dich: Was passiert, wenn ich nun ein Minus noch hinzufüge für den Term? Wir wollen ja schließlich den Graph für 

$$-\frac{1}{3-x}$$

haben und nicht für

$$\frac{1}{3-x}.$$

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Dass die Kurve nach unten geht?