Question

In einem Betrieb, in dem LED Lampen hergestellt werden, sind im Durchschnitt 0,9% der gefertigten Erzeugnisse fehlerhaft.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Sendung von 1000 Stück

a) keine Ausschusstücke

b) genau 5 Ausschussstücke

c) genau 10 Ausschussstücke

d) höchstens 10 Ausschussstücke enthalten sind.

e) Erklären Sie, warum die Approximation nicht besonders gut ist.

Answer 1

n = 1000 ; p = 0.009
μ = n·p = 1000·0.009 = 9
σ = √(n·p·q) = √(1000·0.009·0.991) = 2.986 (Bedingung von Moivre-Laplace ist nicht erfüllt)

a) keine Ausschussstücke 

P(X = 0) = (1 - 0.009)^1000 = 0.0001184825752

b) genau 5 Ausschussstücke

Näherung über Normalverteilung
P(X = 5) = Φ((5.5 - 9)/2.986) - Φ((4.5 - 9)/2.986) = Φ(-1.17) - Φ(-1.51) = 0.0555

Binomialverteilung
P(X = 5) =COMB(1000, 5)·0.009^5·0.991^{1000 - 5} = 0.0604

c) genau 10 Ausschussstücke

Näherung über Normalverteilung
P(X = 5) = Φ((10.5 - 9)/2.986) - Φ((9.5 - 9)/2.986) = Φ(0.50) - Φ(0.17) = 0.1240

Binomialverteilung
P(X = 10) = COMB(1000, 10)·0.009^10·0.991^{1000 - 10} = 0.1191

d) höchstens 10 Ausschussstücke enthalten sind.

Näherung über Normalverteilung
P(X ≤ 10) = Φ((10.5 - 9)/2.986) = Φ(0.50) = 0.6915

Binomialverteilung
P(X ≤ 10) = ∑(COMB(1000, x)·0.009^x·0.991^{1000 - x}, x, 0, 10) = 0.7065

e) Erklären sie, warum die Approximation nicht besonders gut ist.

Zum einen ist die Bedingung von Moivre und Laplace nicht erfüllt. Zum zweiten rundet man sehr stark um die Werte in der Standardnormalverteilung abzulesen.