PDGL u_(t) = 9u_(xx) + e-t sin(x) für 0 < x< π , t> 0 mit Fouriermethode und Nebenbedingungen lösen

Question

genau wie bei der anderen Frage, tu' ich mich mit dieser Aufgabe schwer und weiß nicht wie ich anfangen soll. Danke und schöne Feiertage!

Die Aufgabenstellung lautet:

Finden Sie mit Hilfe der Fouriermethode alle Lösungen der partiellen DGL. 

u_(t) = 9u_(xx) + e^-t sin(x) für 0 < x< π , t> 0. 

Zusätzlich sind die Nebenbed. (Siehe Bild) angegeben.

Comments

 

Ich bin mitterweile so weit gekommen:

Weiß jemand ob der letzte Schritt richtig ist und wie es dann weitergeht?

Danke und guten Rutsch!

Answer 1

Hi,
mit dem Produktansatz $u(x,t) = f(x) g(t)$ kommt man auf folgende Gleichungen für die homogene PDGL mit $\lambda = \text{const}$
$$(1) \quad g'(t) = 9 \lambda g(t)$$ also
$$(2) \quad g(t) = c_1 e^{9 \lambda t}$$ und
$$(3) \quad f''(x) = \lambda f(x)$$ mit der Lösung
$$(4) \quad f(x) = c_2 e^{\sqrt{\lambda} \cdot x } + c_3 e^{-\sqrt{\lambda} \cdot x }$$
Also gilt
$$(5) \quad u(x,t) = c_1 e^{9 \lambda t} \left( c_2 e^{\sqrt{\lambda} \cdot x } + c_3 e^{-\sqrt{\lambda} \cdot x } \right)$$
Die Bedingung $u(0,t) = 0$ ergibt $c_3 = -c_2$
und die Bedingung $u(\pi,t) = 0$ ergibt
$$(6) \quad \lambda_k = -k^2$$
Damit ergibt sich aus (5)
$$u_k(x,t) = \tilde c_k e^{9 \lambda_k t} \sin(kx)$$ und deshalb
$$(7) \quad u(x,t) = \sum_{k=-\infty}^\infty u_k(x,t) = \sum_{k=1}^\infty \overline {c_k} e^{9 \lambda_k t} \sin(kx)$$
Die Bedingung $u(x,0) = \sin(x)$ ergibt
$$(8) \quad \overline c_1 = 1 \text{ und } \overline c_k = 0 \text{ für } k \ne 1$$ d.h.
$$(9) \quad u_H(x,t) = e^{-9 t} \sin(x)$$ ist die homogene Lösung der PDGL.
Für die inhomogene PDGL macht man den Ansatz
$$(10) \quad u(x,t) = T(t) u_h(x,t)$$ mit unbekannter Funktion $T(t)$

Aus (10) folgt durch einsetzen in die PDGL das gelten muss
$$(11) \quad T'(t) = e^{8t} \text{ und } T(0) = 1$$
Die Lösung von (11) ist
$$(12) \quad T(t) = \frac{1}{8} e^{8t} + C$$ Aus $T(0) = 1$ folgt $C = 1 - \frac{1}{8}$
Also insgesamt $T(t) = \frac{1}{8} \left( e^{8t}-1 \right) + 1$
D.h. die Lösung sieht wie folgt aus
$$(13) \quad u(x,t) = e^{-9t} \sin(x) \left( \frac{1}{8} \left( e^{8t}-1 \right) + 1 \right)$$