Reihendarstellung von e folgendes zeigen

Question

Mit der Reihendarstellung $$ { e }^{ x  }$$= exp(x) soll folgendes gezeigt werden für jedes feste a Element R.

1. $$ \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { { e }^{ x } }{ { x }^{ a } }  } =\infty $$

2. $$ \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ { x }^{ a }{ e }^{ -x }=0 } $$

was muss ich das machen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie mit der Reihendarstellung von e^x = exp(x), dass für jedes feste α ∈ ℝ gilt

Stichworte: beweis,funktion,analysis

Zeigen Sie mit der Reihendarstellung von e^x = exp(x), dass für jedes feste α ∈ ℝ gilt

Answer 1

Begnüge dich bei der Reihendarstellung auf ein Pulynom vom Grade a - 1. Dann wende L'Hospital a mal hintereinander ab, bis deine Potenz x^a eine Kostante wird. Die Reihendarstellung enthält dann immer noch ein x.

Comments

a ist nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl.

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Ja. du hast recht. Also man bildet dann a Ableitungen und kann dann eigentlich den Grenzwert bestimmen.

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"Mit der Reihendarstellung" bedeutet auch in jedem Falle: Benutze nicht L'Hospital.

Answer 2

Nimm erstmal \(a\in\mathbb{N}\) an und folgere aus der Exponentialreihe \(e^x>x^{a+1}/(a+1)!\) für \(x\ge0\).