Berechne die Ableitung folgender Funktionen Bsp. f(x) = √((1+x^2)/(1-x^2)), D = (-1,1)

Question

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und brauche den Rat von erfahrenen Köpfen hier.

Die Aufgabe lautet:

" Berechnen Sie die erste Ableitung folgender Funktionen f: D→ℝ:

i) f(x)=x^{x  ,}D=(0,∞)

ii) f(x)=√((1+x²)/(1-x²)) , D=(-1,1) "

Muss ich das D irgendwie mit einbinden? Ich verstehe nicht, wozu das angegeben ist und was ich damit anfange. 

Auch bei den Berechnungen komme ich nicht weiter. Die Formel für Ableitungen ist laut Vorlesung: 

f'(x₀):= lim (f(x)-f(x₀))/(x-x₀) heißt Ableitung von f an der Stelle x₀ 

 

Answer 1

Meine Berechnung:

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Danke für die Rechnung! Wir haben in der Vorlesung eine Formel für Ableitungen kennengelernt mit dem lim wie oben in der Beschreibung angegeben. 

In der Aufgabenstellung steht nichts davon, WIE wir die Ableitung berechnen sollen. Also wäre der Rechenweg eine mögliche Lösung? 

Answer 2

Hi,schreibe die erste Funktion wie folgt: \(e^{x \cdot ln(x)}  \). Die ln-Funktion ist nur für positive Zahlen definiert, deswegen ist dein Definitionsbereich so gewählt. Wie man die andere Funktion umschreiben könnte sehe ich gerade zumindest mal nicht. Dort ist der Definitionsbereich so gewählt, dass du weder durch 0 teilst noch die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehst.

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Achso! Danke für die schnelle Antwort. Ich werde es so versuchen. Auf die Umschreibung bin ich so noch nicht gekommen. ^^

Answer 3

Muss ich das D irgendwie mit einbinden? Ich verstehe nicht, wozu das angegeben ist und was ich damit anfange.

Der Definitionsbereich sorgt nur dafür,  dass die Funktion überhaupt definiert ist. Du musst bei der Ableitung auch D angeben. Es ist z.B. nicht möglich, dass die Funktion an einer Stelle eine Ableitung (Steigung) hat, wo es gar keine Kurve gibt. 

Innerhalb des Definitionsbereichs gelten die Ableitungsregeln, die du irgendwann einmal gelernt hast. Die wendest du an und kümmerst dich während der Rechnung nicht um das D. 

Zur Kontrolle: 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=√((1%2Bx%5E2)%2F(1-x%5E2)) hat eine reelle blaue Kurve. Die interessiert dich)

mit Ableitung:

Schreibe daneben x Element (-1,1) . 

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Jetzt wird mir einiges klarer! :-)