Bestimmtes Integral bestimmen Produkt

Question

ich kann folgendes Integral nicht lösen:

Integral (von -2 bis 2) x* sqrt(x^2+4) dx

Kann ich auch bei bestimmten Integralen die Substitutionsregel anwenden?

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Titel: Bestimmtes Integral bestimmen

Stichworte: bestimmtes,integral

ich kann folgendes Integral nicht lösen:

Integral (von -2 bis 2) x* sqrt(x^2+4) dx

Kann ich auch bei bestimmten Integralen die Substitutionsregel anwenden?

Answer 1

Du kannst auch bei bestimmten Integralen die Substitutionsregel anwenden:

        ∫_a..b f(g(t)) dt = ∫_g(a)..g(b) f(x) dx.

Andererseits:

        f(x) = √(x² + 4) ist eine gerade Funktion.

        g(x) = x ist eine ungerade Funktion.

Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist eine ungerade Funktion.

Das Intergrationsintervall ist symmetrisch um die 0.

Comments

man darf ja nicht über nullstellen hinweg integrieren. Wie bestimme ich die Nullstellen? Könnte ich das Ergebnis zur Probe haben?

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Doch, man darf über Nullstellen hinweg integrieren.

Man sollte bedenken, dass der Hauptsatz

        F'(x) = f(x) ⇒ ∫_a..b f(x) dx = F(b) - F(a)

für stetige Funktionen gilt und deshalb nicht gedankenlos über Unstetigkeitsstellen hinweg integrieren. Aber Nullstellen stellen kein Problem dar.

Wenn du Integrale verwendest um Flächeninhalte auszurechnen, dann musst du Nullstellen berücksichtigen.

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Ich weiß nicht, was eine stetige und eine unstetige Funktion ist. Als Nullstelle habe ich 0 razs. Weitere Nullstellen gibt es nicht, da diese in den komplexen Bereich gehen.Als Aufleitung habe ich 1/2* (2/3*(x^2+4)^3/2) raus. Was ist dann mein Flächeninhalt?

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> Ich weiß nicht, was eine stetige und eine unstetige Funktion ist.

Die Unterscheidung zwischen stetigen und nicht-stetigen Funktionen wird in der Schule oft nicht behandelt, weil die wesentlichen in der Schule behandelten Funktionen stetig sind.

> Als Nullstelle habe ich 0 razs.

Das ist richtig.

> Als Aufleitung habe ich 1/2* (2/3*(x²+4)³/2) raus.

Nun ja, das "/2" wolltest du wahscheinlich mit in den Exponenten tun, also

        1/2* (2/3*(x²+4)^3/2).

Das ist dann richtig.

> Was ist dann mein Flächeninhalt?

Der ist

        |∫_-2..0 x·√(x²+4) dx| + |∫_0..2 x·√(x₂+4) dx|

weil du ja zur Berechnung des Flächeninhalts nicht über Nullstellen hinweg integrieren darfst. Achte bitte in Aufgaben ganau darauf, ob Flächeninhalte oder Integrale berechnet werden sollen. Das ist nicht das gleiche. Man verwendet Integrale um Flächeninhalte zu berechnen. Aber es gibt Aufgaben, bei denen Integrale verwendet werden, ohne dass es um einen Flächeninhalt geht.

Answer 2

Hallo Ray,

kann man, aber weil die Integrandenfunktion  f(x) =  x * √(x² + 4)  symmetrisch zum Ursprung ist, ist 

_-a∫^a  f(x) dx  = 0    (hier a = 2)

Gruß Wolfgang