Bestimmtes Integral bestimmen (trigonometrische Substitution)

Question

Hallo!

Es handelt sich hierbei wieder um ein bestimmtes Integral. Man soll hier wieder trigonometrisch substituieren, aber ich verstehe nicht warum cos(arcsin(x)) = √(1-x^2).  Der Integralrechner hat mir den Rechenweg vorgeschlagen, aber ich konnte eben diese Umformung nicht nachvollziehen. Könnt ihr mir weiterhelfen?

Aufgabe:

\( \int \limits_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \)

Comments

Warum machst Du es nicht so wie es Dir Ermanus bei Deinem vorherigen Post vorgerechnet hat?

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Warum dieselbe Aufgabe nochmal?

Es wurde doch alles ausführlich professionell erklärt von dem Profi ermanus.

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Es ist nicht ganz dieselbe Aufgabe.

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Das ist eine andere Aufgabe Leute, ich will nur wissen warum cos(arcsin(x)) = √(1-x2) ist.

Lul, hat's schon erklärt.

Answer 1

Hallo

cos(a)=√(1-sin^2(a)) jetzt a=arcsin(x)

Gruß lul

Comments

lul, die Umformung kann ich noch nicht nachvollziehen. Wie bist du auf a= arcsin(x) gekommen?

Answer 2

Aloha :)

Mit der Substutuion$$x=\sin u\implies \frac{dx}{du}=\cos u$$kannst du das unbestimmte Integral sofort hinschreiben:$$I(x)=\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int\frac{\sin^2u}{\sqrt{1-\sin^2u}}\,\underbrace{\cos u}_{=\frac{dx}{du}}\,du=\int\sin^2u\,du=\int\left(\frac12-\frac12\cos2u\right)du$$$$\phantom{I(x)}=\frac u2-\frac14\sin2u+C=\frac u2-\frac12\sin u\cos u+C=\frac u2-\frac12\sin u\sqrt{1-\sin^2u}+C$$Wegen \(x=\sin u\) bzw. \(u=\arcsin x\) heißt das:$$I(x)=\frac12\arcsin x-\frac12x\sqrt{1-x^2}+C$$Jetzt brauchst du nur noch die Grenzen einzusetzen:$$I(1)-I(-1)=\frac\pi2$$

Comments

Vielen Dank Tschakabumba!

Aber mich würde noch interessieren, wie man auf diese Umformung kommt:

cos(arcsin(x)) = √(1-x2)

Könntest du anhand dieser Umformung auch noch schnell erklären wie man auf das Endergebnis kommt?

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Hallo

nochmal, weil du a nicht einsetzen konntest:

cos(arcsin(x)) =√(1-sin^2(arcsin(x))=√(1-x^2) denn denn sin(arcsin(x))=x

lul

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Diese Umformung basiert auf dem trigonometrischen Pythagoras:$$\cos(\arcsin x)=\sqrt{\cos^2(\arcsin x)}=\sqrt{1-\sin^2(\arccos x)}=\sqrt{1-x^2}$$