Wie bestimmt man die Art des Kegelschnitts?

Question

Es geht um Kegelschnitte. Ich weiß immer noch nicht wie man so richtig die Art bestimmt. 

Laut meinem Buch steht folgendes

Kreis: A=B

Ellipse: A*B > 0 ,    A≠B

Hyperbel: A*B <0

Parabel: A=0 , B≠0  oder B=0 und A≠0

Nun ich habe hier ein Paar Aufgaben wo ich die Art bestimmen muss

a) x² -2x+y² +4y- 20 = 0

b) x² -y² -4= 0

c) 9x² +16y² -18x = 135

d) y² +2x = 4y

Die Lösungen sind 

a = Kreis

b= Hyperbel 

c= Ellipse

d= Parabel

aber warum ist es bei a) ein Kreis?? Wenn die Bedingung A=B sein soll warum ist es ein Kreis. Ich meine A und B sind doch nicht gleich. Ich bin von den ersten beiden Werten mal ausgegangen 

Irgendwie verstehe ich das ganze nicht. Wie kann man das erkennen? Woher weiß ich das es ein Parabel, Ellipse oder Hyperbel ist

Answer 1

Mach erst mal quadratische Ergänzung und schaue dann, was du hast.

a) x^{2} -2x+y^{2} +4y- 20 = 0

(x^2 - 2x +1 ) + (y^2 + 4y + 4) = 20 + 1 + 4

 (x - 1)^2 + (y+2)^2 = 25 

Kreis mit Mittelpunkt M(1|2) und Radius √(25) = 5 

b) x^{2} -y^{2} -4= 0

(x-0)^2 - (y-0)^2 = 4 

---> Form erkennen: Hyperbel

Kontrolle mit 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E(2)+-y%5E(2)+-4%3D+0

c) 9x^{2} +16y^{2} -18x = 135

x^2 - 2x + 16/9 y^2 = 15

x^2 - 2x + 1 + 16/9 y^2 = 15 + 1

(x-1)^2 + 16/9 y^2 = 16

---> Müsste eine Ellipse sein mit Zentrum Z(-1|0). Oder? 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=9x%5E(2)+%2B16y%5E(2)+-18x+%3D+135

d) y^{2} +2x = 4y

y^2 - 4y = - 2x 

y^2 - 4y + 4 - 4 = - 2x

(y-2)^2 - 4 = -2x

-1/2 (y-2)^2 + 2 = x

Parabel ! Allerdings liegend und nach links geöffnet. (x-und y-Achse sind vertauscht!) 

Scheitelpunkt hat Koordinaten  y=2 und x = 2 

Laut meinem Buch steht folgendes

Kreis: A=B

Ellipse: A*B > 0 ,    A≠B

Hyperbel: A*B <0

Parabel: A=0 , B≠0  oder B=0 und A≠0
A und B musst du der Grundform der Kegelschnittgleichungen entnehmen. Die steht in deinem Buch. Die gegebenen Gleichungen dann auf die vorgegebene Form bringen.

Answer 2

Ich denke mal, deine A und B beziehen sich auf die

Kegelschnittgleichungen ohne xy-Glied ( also nach einer

ggf. fälligen Hauptachensentransformation. 

Die sehen dann alle so aus

(siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt#Allgemeine_Kegelschnittgleichung) 

Ax^₂ + By² +Cx + Dy + E = 0     #

Bei deiner 1. Aufgabe 

x² -2x+y² +4y- 20 = 0  schreibst du vielleicht besser

x² +y² -2x+4y- 20 = 0 und siehst im Vergleich mit #

A=1   B=1   C=-2   D=4   E=-20 

also insbesondere A=B , also ein Kreis.

etc.