Untersuchung von Polynomfunktionen (Wendepunkte)

Question

Welche Beziehung muss zwischen den Koeffizienten bestehen, damit der Graph der Funktion mit f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e

(mit a≠0) 

1) genau 2 Wendepunkte,

2) genau einen Wendepunkt

3) keinen Wendepunkt besitz?

Comments

... ein Wendepunkt existiert, wenn ... und/oder/nicht ...

die Bedingungen hast Du entweder bei der Kurvendiskussion gelernt, oder kannst sie nachsehen.

Hast Du die Bedingungen gefunden ?

Dann gehts weiter --->

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Nein, darum Frage ich ja hier. Ich habe schon nachgesehen und sitze schon lange daran und überlege.

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Da stehts:

de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

Answer 1

f ( x ) =ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
f ´( x ) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
f ´´ ( x ) = 12ax^2 + 6bx + 2c

Wendepunkt
12ax^2 + 6bx + 2c = 0  | : 12
ax^2 + b/2 * x + c/6 = 0

jetzt ein bißchen zu tun für dich.
mit der Mitternachtsformel, p/q Formel
oder quadratischer Ergänzung die
Lösung finden.
Steht in der Wurzel
- ein negativer Wert gibt es keinen Wendepunkt
- eine Null : gibt es 1 Wendepunkt
- ein positiven Wert gibt es 2 Wendepunkte.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Comments

Danke haben die uns in der Schule nicht so gezeigt 

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Hallo Georg,

mit f "(x) = 0 erhält man erst einmal nur die möglichen Wendestellen.

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Hallo Wolfgang,
mit meiner Antwort ist dem Fragesteller schon
recht gut weitergeholfen worden.
Alles andere warte ich ab.

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Dieser Argumentation zufolge hat die Funktion ƒ(x) = x⁴ einen Wendepunkt.

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Die Frage

Welche Beziehung  .... muss bestehen, damit .... besitzt?

ist nach meiner Meinung auch nicht sehr klar formuliert :-) 

"Muss" klingt nach "notwendig", "damit ... besitzt" nach "hinreichend"

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Und daher zielt die Frage wohl auf "notwendig" und "hinreichend" ab... das wäre dann glasklar.

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Ich denke eher, die Frage zielt auf notwendig ab, ist aber dbzgl. keineswegs glasklar formuliert.

Answer 2

f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e

notw. Bedingung f ' ' (x) = 0

    12ax^2 + 6bx + 2c = 0 

    a≠0 ==>    x^2 + (b/(2a))*x + c/(6a) = 0

              ==>   x = -b /(4a)  ±√  (  (b^2) / (16a^2)  -c/(6a) ) 

hat 2 Lösungen für  (b^2) / (16a^2)  -c/(6a) > 0 

                               b^2 - a*c*(8/3)   >  0  .

entsprechend eine oder keine.