Beweisen Sie, dass f in [ a,b ] nur endlich viele Nullstellen besitzt

Question

versteht das einer und könnte es mir bitte erklären?

es seien a,b ∈ℝ mit a < b. Weiter sei f: [a,b]→ℝ differenzierbar auf [a,b] und für alle x ∈[a,b] gelte

|f(x)|+|f´(x)| ≠ 0.

Beweisen Sie, dass f in [a,b] nur endlich viele Nullstellen besitzt.

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Comments

Erklaeren? Gerne. Deine Funktion f ist in [a, b] differenzierbar und an keiner Stelle x ∈ [a, b] gilt gleichzeitig f(x) = 0 und f'(x) = 0. Daraus ist zu folgern, dass f (hoechstens) endlich viele Nullstellen in [a, b] hat.

Answer 1

Wir nehmen an dass die Menge der Nullstellen von f in [a,b] unendlich sei. 

Dann gibt es eine Teilmenge {x_n : n ∈ ℕ} mit paarweise verschiedenen Zahlen x_n. Da das Intervall [a,b] kompakt ist, hat die Folge (x_n) eine konvergente Teilfolge (x_nk).Sei also x_nk → c, wobei c ∈ [a,b]. 

Da die x_n paarweise verschieden sind, kann x_nk = c für höchstens ein k ∈ ℕ sein. 

Da f differenzierbar in [a,b] ist, ist die Funktion auch stetig in [a,b]. 

Daher haben wir $$f(c)=\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=0$$ 

Da f differenzierbar ist folgt es auch dass $$f'(c)=\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{f(x_{n_k})-f(c)}{x_{n_k}-c}=0$$ 

Wir haben aber dass $$|f(x)|+|f'(x)|\neq  0, \ \forall x\in [a,b]$$ also $$|f(c)|+|f'(c)|\neq  0\Rightarrow 0\neq 0$$ ein Widerspruch. 

Somit muss die Menge der Nullstellen von f in [a,b] endlich.