Beweisen Sie, dass daraus ϕ(U ⊥) = W⊥ folgt.

Question

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe.

Es seien U und W lineare Unterräume von Rⁿ und sei ϕ: Rⁿ → Rⁿ eine orthogonale Abbildung mit ϕ(U) = W. Beweisen Sie, dass daraus ϕ(U^⊥) = W^⊥ folgt.

Answer 1

ϕ(U^⊥) = W^⊥  bedeutet 

x ∈ϕ(U^⊥)  <==>   x ∈ W^⊥

Sei also x ∈ϕ(U^⊥) 

==>   Es gibt ein a∈U^T mit  Φ(a)=x 

    ==>  Für alle u∈U gilt a*u=0    #

(wenn * das Skalarprodukt ist, vielleicht schreibt

ihr auch <a,u>=0  )

Um zu zeigen: x ∈ W^⊥   , muss man prüfen, ob x*w=0 

für alle w∈W.  Sei also w∈W, dann gibt es (wegen ϕ(U) = W)

ein u∈U mit   ϕ(u)=w. 

Wegen # gilt   a*u = 0 und weil  ϕ(u)=w und  ϕ(a)=x

und  ϕ orthogonal ist, gilt auch  ϕ(u)*ϕ(a)= = 0

also  x*w = 0 .

Umgekehrt so ähnlich. 

Comments

Was meinst du mit deinem letzten Satz "umgekehrt so ähnlich"?

---

Ich habe ja nur gezeigt:

x ∈ϕ(U^⊥)  ==>   x ∈ W^⊥ 

Es fehlt:    <==

---

Also praktisch die andere Richtung nochmal zeigen und man wäre fertig?

---

Genau so ist es.