Binomialverteilung - Wahrscheinlichkeit

Question

Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 50 Aufgaben mit jeweils 5 Antworten, von denen nur jeweils eine richtig ist.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man durch bloßes Raten folgende Anzahl von Aufgaben richtig beantworten.

a) mehr als 20 Aufgaben

b) mindestens 10 und höchstens 20

c) weniger als 12 Aufgaben

d) genau 15 Aufgaben.

Mir geht es eher darum, wie ich mit den Angaben: 50 Aufgaben, jeweils 5 Antworten, nur eine richtig, zu p komme. Wie berechne ich p?

Die Lösungen benötige ich nicht unbedingt, da ich sie selbst gerne lösen möchte. 

Answer 1

Die Lösungen benötige ich nicht unbedingt, da ich sie selbst gerne lösen möchte. 

Wow, bin sehr beeindruckt! :-)

Wenn die Zufallsgröße X die Anzahl der richtig geratenen Antworten beschreibt, dann ist X binomialverteilt mit den Parametern n=50 und p=1/5. (Eine richtige Antwort von fünf Antworten insgesamt!)

Answer 2

wenn man  "von denen nur jeweils eine richtig ist"  als "von denen jeweils genau eine richtig ist" interpretiert , ergibt sich für eine angekreuzte Antwort

P("Antwort richtig")  = 1/5 = p     (Laplace mit 1 Möglichkeit von 5)

Bei 50 (unabhängig voneinander) angekreuzten Antworten beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau k richtige Antworten

\(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) *  p^k  * (1-p)^n-k   mit n=50 und p=1/5 

Der Online-Rechner

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

hilft bei der Kontrolle bzw. Berechnung der Antworten.

(Binomialverteilung unter dem "Direktbild" der Seite)

Gruß Wolfgang

Answer 3

> ... 5 Antworten, von denen nur jeweils eine richtig ist.

Das ist ein Bernoulli-Experiment. Das heißt, man ist nur daran interessiert, ob das Ergebnis ein Erfolg oder ein Misserfolg ist.

Ob du jetzt Erfolg als "Frage wurde richtig beantwortet" oder "Frage wurde falsch beantwortet" definierst, ist dir überlassen. Aus Sicht des Kandidaten ist sicherlich "Frage wurde richtig beantwortet" ein Erfolg. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, durch Raten einen Erfolg zu erziehlen, 1/5 (alle Antworten haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, angekreuzt zu werden; eine von fünf ist richtig).

Man kann sich aber ebenso auf den Standpunkt eines misanthropischen Prüfers stellen. Der würde "Frage wurde falsch beantwortet" als Erfolg bezeichnen und so zu einer Erfolgswahrscheinlichkeit durch Raten von 4/5 kommen.

> Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 50 Aufgaben ...

Das obige Bernoulli-Experiment wird 50 mal wiederholt.

> ... durch bloßes Raten ...

Die Wiederholungen sind unabhängig voneinander.

Also sind die Voraussetzungen einer Bernoulli-Kette erfüllt und somit die Anwendung der Binomialverteilung gerechtfertigt.