Sinusfunktion-Mittelwert in einem Intervall ohne Integral nachweisen

Question

Begründen Sie ohne Verwendung des Integrals, dass der Mittelwert von f f(X)=sinX im Intervall von 0 bis pi größer als o,5 ist.

Hab keider keine Ahnung wie man eine allgemeine Begründung findet...

Answer 1

Zeichne ein Dreick mit den Eckpunkten \(  (0,0), ~ (\frac{\pi}{2},1), ~ (\pi,0) \)

Der Flächeninhalt ist \( F=\frac{ \pi }{ 2 } \).

Damit ist der mittlere Flächeninhalt des Dreiecks \( \frac{F}{\pi} = \frac{1}{2} \)

Da das Dreieck immer unterhalb der Sinuslinie liegt ist der mittlere Flächeninhalt des Dreiecks kleiner als der mittlere Flächeninhalt des Integrals. Also gilt $$ \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin(x) dx \ge \frac{1}{2} $$

Answer 2

sin(0) = sin(π) = 0

sin(π/2) = 1

sin''(x) < 0 für 0 < x < π, also ist der Sinus dort konkav.

Also ist der Mittelwert größer als 1/π (1/2·π/2·sin(π/2) + 1/2·π/2·sin(π/2)) = 0,5.

Comments

Wir haben das mit der Konkavität noch nicht gemacht... also müsste es eine andere Begründung geben...

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Es gibt andere Formulierungen der gleichen Idee. Zum Beispiel dass die Funktion rechtsgekrümmt ist. Oder dass das Dreieck aus den Punkten (0,sin(0)), (π/2, sin(π/2)) und (π, sin(π)) vollständdig unterhalb es Funktionsgraphen von sin(x) liegt.