ich versuche einfach mal die Aufgabe zu lösen.
Für Extrema muss man die 1. Ableitung Null setzen und dann die Werte in die 2. Ableitung setzten. Wenn die 2.Ableitung Null ist und die 3. Ableitung nicht Null, dann hast du einen Wendepunkt. Meine Lösung könnte Fehlerhaft sein.
$$ x(t)=t\cdot {e}^{-t} \\x(0)=0\cdot {e}^{0}=0 \\ x(5)=5\cdot {e}^{5}=0,034 $$
Produktregel
$$ u = t \\ u´ = 1 \\v={e}^{-t} \\v´=-{e}^{t} \\x´(t)=-t{e}^{-t}+{e}^{-t} \\x´(t)=-(t-1)\cdot{e}^{-t} $$
Ein Produkt wird dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist und e hoch irgendwas kann-soweit ich weiß- nicht Null werden.
$${t}_{1}=1$$
Bei der 2. Ableitung war ich mir nicht sicher, deshalb habe ich die mit einem Ableitungsrechner gelöst.
$$ x´´(t)=(t-2){e}^{-t} \\x´´(1)=(1-2){e}^{-1} \\x´´(1)=-0,37 \\x(1)=-0,37 $$
Darus folgt:
$$H(1|0,37)$$
Für den Wendepunkt ist die hinreichende Bedingung, dass $$f´´({x}_{0})=0$$ ist und $$f´´´({x}_{0})\neq 0$$ ist.
$$(t-2){e}^{-t}=0 \\t=2 \\x´´´(t)=-(t-3){e}^{-t} \\x´´´(2)=-(2-3){e}^{-2} \\x´´´(2) \neq 0 \\x(2)=2 \cdot {e}^{-2} \\x(2)=-0,27 \\W(2|-0,27)$$
Ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe.
Smitty
