Wie integriert man diese Funktion - Integralrechnung?

Question

Könnte mir Jemand erklären, wie man diese Funktion am besten integriert?

Habe versucht, den Nenner durch Substitution weg zubekommen, hilft aber leider nicht viel.

$$\int { \frac { x-\sqrt { x }  }{ x+\sqrt { x }  }  }dx $$

Answer 1

es ist
$$ \frac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}= \frac{x+\sqrt{x}-2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}=1-\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\\=1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\\$$

der erste Summand sollte klar sein zum Integrieren, beim zweiten Summanden substituierst du √x +1 = z

Comments

Bist du dir sicher, dass dies so funktioniert? 

Der erste Summand ergibt x, klar

Der zweit Summand wird nach der Substitution zu int 4*wurzel(x)/z dz, was meiner Meinung nach unschön ist, denn das x hebt sich nicht weg

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Nutze aus, dass

$$ \sqrt{x}= \sqrt{x}+1-1=z-1 $$

dann hast du kein x mehr drin.

Answer 2

Meine Berechnung:

Comments

Dankeschön, aber darf man einfach Wurzel(x) durch z  in Zeile 5-6  nochmals ersetzen?

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Ja, denn es muß ja alles einheitlich mit der Variable z stehen , sonst geht das ja nicht.