Berechnung der Normalenvektoren aus drei Punkten.

Question

Hallo

Gegeben sind die drei Punkte a(3,1,1), b(4,2,0) und c(1,3,3) welche ein dreidimensionales Dreieck aufspannen. Daraus sollen nun die 2 Normalenvektoren berechnet werden. Weiß jemand wie man das macht?

Comments

Welche Normalenvektoren sind hier genau gesucht?

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Ich weiß es nicht genau. In der Aufgabenstellung steht es gibt wohl genau zwei. Wie viele Möglichkeiten gibt es denn deiner Meinung nach?

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Die drei Punkte bilden eine Ebene, und einen zugehörigen Normalenvektor. Zu diesem gibt es dann unendlich viele Normalenvektoren die zum ersten linear Abhängig sind.
Vielleicht kannst du mal den genauen Aufgabentext mitteilen.

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Hmm doof. Mehr infos habe ich leider nicht. Unser Dozent hat die Aufgabe so formuliert wie ich sie oben geschrieben habe. Wieso er von genau zwei Normalen redet belibt die Frage... Aber trotzdem Danke für die Antworten!

Answer 1

a(3,1,1), b(4,2,0) und c(1,3,3)

Vektor von a auf b:
b-a = (1,1-1);

Vektor von a auf c:
c-a = (-2,2,2);

Normalenvektor:
n1 = (1,1-1) x (-2,2,2) = (4,0,4);
n2 = (-2,2,2) x (1,1-1) =  (-4,0,-4);

Wenn man die drei Punkte als die Punkte auffasst, die eine Ebene definieren, dann kann man zwei Normalenvektoren bestimmen; beide stehen senkrecht auf der Ebene, nur zeigen sie in genau entgegengesetzte Richtungen.

(Um sie zu normieren kann man noch durch |n1| bzw. |n2| teilen.

 

lg JR

Comments

Ah ok. Ist es hierbei egal ob man den Vektor von a nach b, von b nach c oder von c nach a nimmt?

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Ja, das spielt keine Rolle. Die Vektoren, die Du dann durch das Kreuzprodukt erhältst stehen immer senkrecht auf der Ebene, Dir muss allerdings klar sein, dass es zwei geben muss, so wie eine Ebene auch zwei Seiten hat. (Vorausetzung ist natürlich, dass die drei Punkte nicht alle auf einer Geraden liegen, dann spannen sie auch keine Ebene auf. Wenn das der Fall ist, dann sind die Vektoren, die Du berechnest linear abhängig und das Kreuzprodukt ergibt 0. Damit hast Du auch gleich eine Methode gefunden um lineare Abhängigkeit zweier Vektoren zu zeigen.)

lg JR

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Cool. Vielen vielen Dank für die tolle hilfe!! :)

LG Saskia