Das ist der zweite Teil von der Lektüre, wie es genannt wurde. In diesem Kapitel geht es um den Anwendungszweck der Ableitung. Dazu wird es Graphen und Rechenbeispiele geben, die auch erklärt werden.
Wie schon angekündigt, kann man mit der Ableitung, die Steigung an einem Punkt von der Ausgangsfunktion berechnen. Es ist an sich nur eine Vereinfachung des Differenzenquotienten, also findet man die Steigung einer Geraden, die den Graphen nur an einem Punk berührt, die Tangente.
~plot~ x^2 ~plot~
~plot~ 2x ~plot~
Der eine ist der Funktionsgraph: $$f(x)=x^2$$
Der andere ist der Ableitungsgraph:$$f´(x)=2x$$
Auf diese beiden Graphen werde ich später nochmal zurückkommen. Die sind nur einmal als Vorstellung, dass der Ableitungsgraph sich komplett vom Ursprungsgraphen unterscheiden kann.
Vielleicht habt ihr schon einmal Schnittwinkel von zwei Linearen Funktionen behandelt. Dies ist bei anderen Funktion nicht so einfach, dass man direkt die Steigung ablesen kann und dann in die Formel:(Später mehr) $$tan(α)=\frac{{m}_{2}-{m}_{1}}{1+{m}_{2}\cdot {m}_{1}}$$
Diese Formel wird man auch bei "nicht-linearen-Funktionen" brauchen. Man kann nämlich die Steigung an einem Punkt herausfinden. (Herleitung: https://www.mathelounge.de/205202/mathe-artikel-der-differenzenquotient-h-methode)
Steigung an einem Punkt
Am besten probiert man es direkt an einem Beispiel aus.
Hier erst nochmal die beiden Funktionen vom Anfang.
~plot~ x^2;2x ~plot~
Als Beispiel, wo es klar sein sollte, wie es gemeint ist, ist: Die Steigung an der Stelle
$${x}_{0}=0\\f(x)=x^2\\f´(x)=2x\\f´(0)=2\cdot 0=0$$
Was sieht man?
Die Steigung ist Null. Das kann man auch wunderbar am Graphen sehen, da dort der Scheitelpunkt ist. Kurz davor sinkt es und kurz danach steigt der Graph wieder. Und der Ableitungsgraph ist auch bei 0. Bei anderen Beispielen ist es schwer, es so nachzuvollziehen. Daher kann man eine Tangente, eine Gerade, die den Graphen nur an einem Punk berührt, mit der Steigung an der Stelle x0 berechnen
Übrigens:Für Punkte mit der Steigung=0 (lokale Extrempunkte) wird es später auch noch einen Artikel geben.
Ein anderes Beispiel wäre: a) "Bestimmen Sie die Steigung bei x0=4 und die Tangentengleichung, wenn f(x)=x2 gegeben ist.
Lösung:
$$f(x)=x^2\\f´(x)=2x\\f(4)=2\cdot 4=8$$
Nun können wir das mal Graphisch überprüfen oder die Aufgabe besagt dies. Wir müssen die Tangentengleichung herausfinden.
Schritte:
1. Berührpunkt herausfinden. (Unser Fall B(4|16)). Entweder ist x-Wert gegeben, dann muss man noch den y-Wert durch Einsetzen in f(x) herausfinden, oder der Punkt ist gegeben
2. Allgemeine Tangentengleichung; entweder t(x)=mx+b oder t(x)=f´(a)*(x-a)+f(a) (a und f(a) sind die Werte von unserem Punkt.)
3. (fakultativ) Graphisch darstellen.
Zurück zu unserem Beispiel. (ich gehe beide Methoden durch)
mit t(x)=mx+b
$$m=f´(x)\\m=8 \ (hatten\ wir\ ja\ oben\ schon\ ausgerechnet.)=>\\t(x)=8x+b$$
Jetzt den Punkt einsetzen, damit wir nach b auflösen können.
$$16=8\cdot 4+b\\16-32=b\\b=-16$$
Nun die gesamt Gleichung nochmal aufschreiben, falls gefordert.
$$t(x)=8x-16$$
Jetzt die zweite Methode mit: t(x)=f´(a)*(x-a)+f(a)
Erst wieder die Steigung einsetzten und dann den Punkt nur diesmal nur auf der rechten Seite einsetzen, da f(a)=y ist und a ist der x-Wert des Punktes.
$$t(x)=f´(a)\cdot (x-a)+f(a)\\t(x)=8\cdot (x-a)+f(a)\\t(x)=8\cdot (x-4)+16$$
Das wars an sich schon, aber entweder, weil man es präfferiert, kann man ausmultiplizieren oder damit wir jetzt sehen, dass 2 mal die gleiche Funktion raus kommt.
$$t(x)=8\cdot x-8\cdot 4 +16\\t(x)=8x-16$$
Jetzt schauen wir uns die beiden Graphen an, ob ich wirklich nicht gelogen habe.
~plot~ x^2;8x-16 ~plot~
Vielleicht müsst ihr etwas mit dem Zoom spielen, damit man es wirklich gut sieht.
So... ein Thema, welches oben schon angesprochen wurde, pack ich noch mit in den Artikel: Schnittwinkel zweier Funktionen. Als Beispiel nehme ich eine eine ganzrationale Funktion dritten Grades und eine lineare Funktion:
Aufgabe: Finde heraus, wo (Punkt) und unter welchem Winkel sich die beiden Funktionen schneiden. $$\qquad f(x)=x^3-2x+1\\\qquad g(x)=-2x$$
Ich gebe wieder Schritte an:
1. Schnittpunkt durch Gleichsetzen herausfinden.
2.Steigung an dem Punkt herausfinden, beider geraden.
3. In die tan-Funktion (die am Anfang genannt wurde); wird dann nochmal von mir hingeschrieben.
$$f(x)=g(x)\\x^3-2x+1=-2x\qquad |+2x/-1\\x^3=-1\\x=\sqrt[3]{-1}=-1$$
Jetzt haben wir den x-Wert von unserem Schnittpunkt, aber um die Aufgabe komplett zu beantworten, müssen wir diesen noch in eine der beiden Funktionen herausfinden.
$$g(-1)=-2\cdot 2=2$$
=> S(-1|2)
Jetzt die Steigungen:
m=f´(x)
$$f(x)=x^3-2x+1\\f´(x)=3{x}^{2}-2\\f´(-1)=3\cdot {(-1)}^{2}-2=1={m}_{1}\\g(x)=-2x\\g´(x)=-2={m}_{2}$$
Jetzt das in die besagte Formel einsetzen:
$$tan(\alpha)=\frac{{m}_{2}-{m}_{1}}{1+{m}_{1}\cdot {m}_{2}}\\tan(a)=\frac{-2-1}{1+(-2)\cdot 1}=3\\\alpha=arctan{3}=71,57°$$
Hinweis: Auf den meisten Taschenrechnern steht tan^{-1}. Eigentlich ist das mathematisch falsch, wurde mir zu mindest gesagt.
So nun habt ihr etwas über die Steigung an einem Punkt erfahren, wie man diese berechnet und die dazugehörige Tangente. Aber erfahren habt ihr auch, wie man den Schnittwinkel zweier Funktionen herausfindet.
In den nächsten Artikeln wird die Monotonie einer Funktion,mithilfe der 1. Ableitung, untersucht.
Ich hoffe alles ist verständlich und fehlerfrei. Wenn nicht, bitte ich um die Fragen und/oder Korrekturen in den Kommentaren.
