Bestimme für die folgende 3x6 Matrix den Kern

Question

Bestimme für die folgende Matrix den Kern, die Dimension des Kernes, den Rang und die Gaußsche Normalform.

A= 0   3   -6    6   4    -5

     3   -7   8   -5   8    9 

    3    -9  12  -9   6   15 

Den Kern erhalten ich ja wenn ich das Gleichungssystem Ax=0 löse. Ich habe deshalb die Matrix A umgeformt Gauß form.

Ich erhalten wenn ich mich nicht irgendwo verrechnet habe

1  -3  4  -3  2  5

0  1 -2   2  1 -3

0  0  0  0  1  4

Doch wie mache ich jetzt weiter und wie gibt man den Kern korrekt an?

Answer 1

Hallo Sternchen,

deine Gauß-Umformung ist richtig. 

der Kern(A) ist die Lösungsmenge  von  A *  \(\vec{x}\) =  \(\vec{o}\)

⎡ 1  -3   4  -3  2   5 | 0 ⎤
⎢ 0   1  -2   2  1  -3 | 0 ⎥
⎣ 0   0   0   0  1   4 | 0 ⎦

Bei einem LGS mit 3 Gleichungen mit 6 Unbekannten bleiben 3 Variablen beliebige Zahlen, aus denen sich die 3 anderen ggf. ausrechnen lassen: 

Z3:       x₆  = r  beliebig     →  x₅  = - 4 r    

            x₄  = s  beliebig    ;    x₃ = t  beliebig

Einsetzen in Z2  ergibt

x₂  =   2t  - 2s  + 4r + 3r  =  2t  - 2s + 7r

Einsetzen in Z1     →  x₁  =   6t  - 6s + 21r  - 4t + 3s  + 8r  - 5r  =  2t - 3s + 24r  

Der Kern enthält also alle Vektoren

(  2t - 3s + 24r  ,  2t  - 2s + 7r , t  , s , -4r , r )   mit beliebigen Zahlen r,s,t  ∈ ℝ  

Kern(A)  = { (  2t - 3s + 24r  ,  2t  - s + 7r , t  , s , -4r , r ) ∈ ℝ⁶  |  r,s,t  ∈ ℝ }  

Gruß Wolfgang

Comments

Super danke für deine Hilfe

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Jetzt habe ich nochmal eine Frage zu dieser Aufgabe.

Ist dann dim (Kern A)=3 ?

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Und ist die Gaußsche Normalform hier

1  0  -2   3  0  -24

0  1  -2  2  0  -7

0  0   0  0  1   4

?

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dim (Kern A) = 3 ist richtig

ja, das ist hier die GNF

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Perfekt danke :)

Die Dimension vom Kern ist 3 weil dim (A)- rg (A)=6-3=3 oder

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Ja, anschaulicher ist

Kern(A) hat mit r,s,t  drei "Freiheitsgrade"