Rekonstruktion von ganzrationalen Funktionen 4.Grades

Question

Eine Parabel 4. Ordnung hat im Ursprung einen Wendepunkt und für x = 6 eine Tangente parallel zur Abszisse. Sie schneidet die Abszisse in x = 8 mit der Steigung -8. Bestimmmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung.

Comments

Irgendetwas wirst du doch schon selbst gefunden haben?

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@-Wolfgang- Ja habe ich bereits, aber ich habe bei der Gleichung "f'(8) = -8: 2048a + 192b + d = -8 " vergessen die Werte mit den Potenzen zu multiplizieren.

Answer 1

die allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion vierten Grades lautet:

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Die Funktion geht durch den Ursprung ⇒ f(0) = 0 ⇒ e = 0

Sie hat dort einen Wendepunkt ⇒ f''(x) = 0 ⇒ c = 0

Tangente in x = 6 parallel zur Abszisse ⇒ f'(6) = 0

Schnittpunkt mit der Abszisse bei x = 8 ⇒ f(8) = 0

mit der Steigung -8 ⇒ f'(8) = -8

f(x) = ax⁴ + bx³ + dx

f'(x) = 4ax³ + 3bx² + d

f''(x) = 12ax² + 6bx

f'(6) = 0: 864a + 108b +d = 0

f(8) = 0: 4096a +512b + 8d = 0

f'(8) = -8: 2048a + 192b + d = -8

Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt

$$ -\frac{1}{64}x^4 + \frac{1}{8}x^3 $$

Gruß

Silvia

Answer 2

Eine Parabel 4. Ordnung hat im Ursprung einen Wendepunkt und für \(x = 6\) eine Tangente parallel zur Abszisse. Sie schneidet die Abszisse in \(x = 8\) mit der Steigung -8. Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung.

Wendepunkt im Ursprung bedeutet Dreifachnullstelle

An der Stelle \(x=8\) ist eine einfache Nullstelle.

\(f(x)=ax^3(x-8)=a(x^4-8x^3)\)

\(f'(x)=a(4x^3-24x^2)\)

An der Stelle  \(x = 8\) ist eine Tangente mit \(m=-8\):

\(f'(8)=a(4\cdot 8^3-24\cdot 8^2)=-8\)

\(a=-\frac{1}{64}\)

\(f(x)=-\frac{1}{64}(x^4-8x^3)\)