Zeit-Ort-Funktion; Ableitung falsch berechnet?

Question

Ein bewegter Körper werde gebremst und bewege sich für t≥0 gemäß der Zeit-Ort-Funktion s:t ↦ √t 

(t in Sekunden, s(t) in Meter)

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1) Stelle eine Formel für die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t auf!

Für welche t gilt diese Formel?

2) Stelle eine Formel für die Beschleunigung des Körpers zum Zeitpunkt t auf auf! Für welche t gilt diese Formel?

3) Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Geschwindigkeit des Körpers nur mehr 1cm/s

4) Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Beschleunigung des Körpers nur mehr -1cm/s^2

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Meine Ideen:

Also ich habe versucht ca. eine Stunde lang dieses Beispiel zu lösen, würde es gerne verstehen und glaube sogar, dass es eigentlich recht einfach ist, nur komme ich nicht dahinter, was meine Fehler sind.

Das 1) hab ich ja noch richtig. Da habe ich einfach √t abgeleitet.

f(x)= √t

f'(x)= 1/(2*√t)

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Bei 2) bräuchte ich die 2 Ableitung, nur kommt bei mir immer nur sowas wie t^-2/3 * 1/2 raus, was nicht richtig ist.

Die Antwort wäre: 1/4t*√t

Das geht doch gar nicht?

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Beim 3) hätte ich 1 in f'(x) eingesetzt, nur kommt mir da 0.5 raus, was mir eigentlich gar nichts bringt, weil die Antwort nach 41 min 40s wäre.

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4) kann ich gar nicht ausrechnen, weil mir die Ableitung fehlt, aber die Antwort hier wäre: nach ca. 8.5 s

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Könnte mir bitte jemand helfen? Möchte es sehr gerne verstehen.

Answer 1

a)
s(t) = √t = t^{1/2}
v(t) = s'(t) = 1/2·t^{- 1/2} = 1/(2·√t) für t > 0

b)
a(t) = s''(t) = - 1/4·t^{- 3/2} = - 1/(4·√(t³)) für t > 0

c)
1/2·t^{- 1/2} = 0.01 --> t = 2500 s = 41 min 40 s

d)
- 1/4·t^{- 3/2} = -0.01 --> t = 8.550 s

Comments

Dankeschön!!

Jetzt wo ich den Weg sehe, könnt ich mir auf den Kopf schlagen.. so dumm bin ich manchmal.

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b) Sollte es nicht -1/(4* 2te√t^3)) sein?

Weil t^-3/2 und die 2 verschwindet doch nicht oder?

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Die Wurzel ohne 2 ist immer die 2. Wurzel. Die 2 wird in dem Fall auch weggelassen.

²√x = √x

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Ah dankeschön!

Noch eine Frage:

s‘(t)= 1/2 * t^{-1/2}

Wieso fällt bei s‘‘(t), 1/2 nicht weg? Das multiplizieren wir dann ja mit (-1/2) und haben dann -1/4

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warum sollte es wegfallen ?

Gemäß der Faktorregel bleiben konstante Faktoren in Ableitungen erhalten.

Answer 2

Hallo

 1, v(t) ist richtig. 

zu 3) beim Ausrechnen der Zeit hast du anscheinend die Zeit um auf 1m/s zu kommen ausgerechnet, die wäre $$ \frac{1}{2^2} s =\frac{1}{4} s$$ aber gefragt ist wann sie auf 1cm/s also auf 1/100 m/s abgesunken ist.

zu 2) die Ableitung von $$\frac{1}{2}*\frac{1}{\sqrt{t}} ist -\frac{1}{4}*\frac{1}{(\sqrt{t})^3} =-1/4*\frac{1}{t*\sqrt{t}}$$

auch hier wieder auf die Einheiten achten!

Gruß lul