Das ist eine richtig geile Aufgabe!
Das ist die Funktion:$$ f(x)=-\frac{1}{216}x^5-\frac{5}{36}x^3+\frac{7}{8}x $$ Bilden wir die erste Ableitung!
Hier wie man sie bildet:$$f'(x)=( -\frac{1}{216} \cdot 5)x^4 \cdot(-\frac{5}{36} \cdot 3)+\frac{7}{8} \cdot 1$$ Und as Ergibt dann:$$ f'(x)=-\frac{5}{216}x^4-\frac{5}{12}x^2+\frac{7}{8}$$
Fällt dir was auf? :)
Von dieser Müssen nun die Nullstellen ermittelt werden. Hier sieht es sehr schön aus, da wir x2 durch z substituieren können! :)
x2=z d.h. :$$ f(x)=-\frac{5}{216}z^2-\frac{5}{12}z+\frac{7}{8}$$ Das sieht verdächtig nach der Mitternachtsformel aus!$$ z=\frac{-b\pm\sqrt[]{b^2-4ac}}{2a}$$ Bevor wir einsetzen müssen wir die Funktion noch in die Normalform bringen durch Division von (-5/216):$$ z^2+18z-37.8 $$ Nun können wir einsetzen:$$ z=\frac{-18\pm\sqrt[]{18^2-4 \cdot 1 \cdot (-37.8)}}{2 \cdot 1} \approx $$$$ z=\frac{-18\pm\sqrt[]{18^2-4 \cdot 1 \cdot (-37.8)}}{2 \cdot 1} \approx z_{1} \approx 1.8995 \quad z_{2} \approx -19.8995$$ Das muss jetzt "rücksubstituiert" werden. Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen also:$$ x_{1,2}=\pm\sqrt[]{1.8895} \approx \pm1.375 $$ Mögliche Extrempunkte also bei ±1.375. Die möglichen Extrema jetzt in die erste Funktion einsetzen:$$ f(1.375)=-\frac{1}{216} \cdot 1.375^5-\frac{5}{36} \cdot 1.375^3+\frac{7}{8} \cdot 1.375 \approx 0.8193 $$$$ f(-1.375)=-\frac{1}{216} \cdot (-1.375^5)-\frac{5}{36} \cdot -(1.375^3)+\frac{7}{8} \cdot (-1.375) \approx -0.8193 $$ \( \text{Tiefpunkt(-1.375|-0.819) und Hochpunkt(1.375|0.819)} \)
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Liebe Grüße und viel Erfolg
