Wie berechne ich die Extremstellen dieser Funktion

Question

wie bilde die die ableitung bei brüchenan

Answer 1

 

Das ist eine richtig geile Aufgabe!

Das ist die Funktion:$$f(x)=-\frac{1}{216}x^5-\frac{5}{36}x^3+\frac{7}{8}x$$ Bilden wir die erste Ableitung!

Hier wie man sie bildet:$$f'(x)=( -\frac{1}{216} \cdot 5)x^4 \cdot(-\frac{5}{36} \cdot 3)+\frac{7}{8} \cdot 1$$ Und as Ergibt dann:$$f'(x)=-\frac{5}{216}x^4-\frac{5}{12}x^2+\frac{7}{8}$$

Fällt dir was auf? :)

 Von dieser Müssen nun die Nullstellen ermittelt werden. Hier sieht es sehr schön aus, da wir x² durch z substituieren können! :)

x²=z d.h. :$$f(x)=-\frac{5}{216}z^2-\frac{5}{12}z+\frac{7}{8}$$ Das sieht verdächtig nach der Mitternachtsformel aus!$$z=\frac{-b\pm\sqrt[]{b^2-4ac}}{2a}$$ Bevor wir einsetzen müssen wir die Funktion noch in die Normalform bringen durch Division von (-5/216):$$z^2+18z-37.8$$ Nun können wir einsetzen:$$z=\frac{-18\pm\sqrt[]{18^2-4 \cdot 1 \cdot (-37.8)}}{2 \cdot 1} \approx$$$$z=\frac{-18\pm\sqrt[]{18^2-4 \cdot 1 \cdot (-37.8)}}{2 \cdot 1} \approx z_{1} \approx 1.8995 \quad z_{2} \approx -19.8995$$ Das muss jetzt "rücksubstituiert" werden. Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen also:$$x_{1,2}=\pm\sqrt[]{1.8895} \approx \pm1.375$$ Mögliche Extrempunkte also bei ±1.375. Die möglichen Extrema jetzt in die erste Funktion einsetzen:$$f(1.375)=-\frac{1}{216} \cdot 1.375^5-\frac{5}{36} \cdot 1.375^3+\frac{7}{8} \cdot 1.375 \approx 0.8193$$$$f(-1.375)=-\frac{1}{216} \cdot (-1.375^5)-\frac{5}{36} \cdot -(1.375^3)+\frac{7}{8} \cdot (-1.375) \approx -0.8193$$ $\text{Tiefpunkt(-1.375|-0.819) und Hochpunkt(1.375|0.819)}$

Klick mal auf den Graphen, da werden dir die interessanten Punkte angezeigt! ;)

Liebe Grüße und viel Erfolg

Comments

bei der ableitung wie bist du auf die 5/12 gekommen gruß

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Kürze die Zahlen durch Division mit 3

-(5/36)*3

36/3 = 12

-(5/12)

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kannst du nochmal kurz sagen wie du die formel durch 5/216 geteilt hast

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Hallo nochmal,$$f(x)=-\frac{5}{216}z^2-\frac{5}{12}z+\frac{7}{8} \quad | :(-\frac{5}{216})$$ Das bezieht sich dann auf jedes einzelene, nennen wir es mal "Glied" der Funktion.$$f(x)=-\frac{5}{216}z^2:(-\frac{5}{216})-\frac{5}{12}z:(-\frac{5}{216})+\frac{7}{8}:(-\frac{5}{216})$$ Gibt man jetzt z.B in den Taschenrechner ein, erhält man:$$-\frac{5}{12}z :(-\frac{5}{216})=18z$$ analog die anderen:$$\frac{7}{8} :(-\frac{5}{216})=-37.8$$ und aus$$-\frac{5}{216} :(-\frac{5}{216})=1$$ Und eine 1 kannst du dir vor dem x sparen, das weißt du ja wahrscheinlich! 

LG

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super habe das jetzt gut verstanden jetzt aber frage ich warum bei der pq formel -4 mal 1 steht könntest du den schritt nochmal erläutern bitte lg

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Oh, das was ich angewandt hab ist die Mitternachtsformel und nicht die PQ-Formel.

f(x)=z²+18z-37.8

PQ-Formel:

-18/2±√((-18/2)²+37.8)

z1,2=-9±10.89954

z1=-9+10.89954=1.89954

z2=-9-10.89954=-19.89954

Alles klar?

Answer 2

wie bilde die die ableitung bei brüchenan
Die Zahlen bleiben stehen:

f ' (x) = ( -1 / 216 ) * 5x⁴  - (5 /36) * 3x²  + 7/8 * 1

        = ( -5 / 216 ) * x⁴  - (5 /12) * x²  + 7/8 

0 setzen gibt x ≈ ± 1,378